Указания к выполнению работы.

Задача Д1 - на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (шара) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения на участке АВ или его длину, определить, какую скорость будет иметь шар в точке В, которая будет начальной для движения шара на участке ВС. Затем нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения на участке ВС тоже с учетом начальных условий. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана его длина, целесообразно перейти в уравнении к переменному х, учтя, что

.

Таблица 1

Номер условия	0	1	2	3	4
Fx	ksin(t)	kt^2	-kcos(2t)	ksin(2t)	-kcos(t)
	30	45	60	30	45
Номер условия	5	6	7	8	9
Fx	kcos(2t)	kt	-ksin(t)	kcos(t)	-ksin(2t)
	60	30	45	60	30

Таблица 2

Номер условия	m, кг	v0, м/с	Q, H	R, H		l, м	t, c	K	f
0	5	20	-3	v	0,5	-	10	10	0.1
1	3	20	5	v^2	0,4	-	1,5	12	0.2
2	4	15	10	v	0,8	-	2,5	16	0,4
3	6	12	8	v^2	0,5	3	-	12	0,3
4	2	10	2,5	v	0,4	-	5	8	0.1
5	8	24	-6	v^2	0,2	10	-	24	0.2
6	1,6	30	8	v	0,8	-	2	4	0,1
7	9	28	4	v^2	0,3	7,5	-	18	0,4
8	6	15	-3	v	0,3	-	10	18	0.3
9	3	10	5	v^2	0,6	2,5	-	12	0.1

П ример №1. На вертикальном участке АВ трубы (рисунке 1) на груз массой m действует сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где V ₌V₀, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m = 2 кг, R = ², где  = 0,4 кг/м, V₀ =5 м/c, l = 2,5 м, F_x = 16sin(4t).

Определить: x =f(t) – закон движения груза на участке ВС.

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы . Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

. (1)

Далее находим ; подчеркиваем, что в уравнении все переменные надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что V_x =V, получим

. (2)

Введем для сокращения записей обозначения

(3)

где при подсчете принято g  10 м/с². Тогда уравнение (2) можно представить в виде

(4)

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

(5)

По начальным условиям при z = 0 V ₌V₀, что дает и из равенства (5) находим

Отсюда .

В результате находим

. (6)

Полагая в равенстве (6) z = l = 2,5 м и заменяя k и n значениями (3), определим скорость _B груза в точке B (V₀ = 5 м/c, число е = 2,71):

(7)

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость _B будет для движения на этом участке начальной скоростью (V₀ =V_B). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Проведем из точки В оси В_x и D_y и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось B_x:

или

, (8)

где F_тр=fN. Для определения N составим уравнение в проекции на ось B_y. Так как Следовательно, кроме того, F_x=16sin(4t) и уравнение (8) примет вид

(9)

Разделив обе части равенства на m, вычисляем и подставим эти значения в (9). Тогда получим

(10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

(11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 V =V₀ =V_B, где _B дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

При найденном значении С₂ уравнение (11) дает

(12)

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

(13)

Так как при t=0 x=0, то С₃=0 и, окончательно, искомый закон движения груза будет

(14)

где х – в метрах, t – в секундах.

П ример №2. На участке АВ трубы (рисунке 2) на груз D массой m действует сила тяжести, постоянная сила и сила сопротивления , зависящая от скорости груза. Время движения от точки А до точки В t. В точке В груз не изменил своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила = , заданная в ньютонах.

Дано: m = 5 кг, = 40 м/с, t = 4 с, R = 0,4 , Q = 16 Н, Н.

Определить: - закон движения груза на участке ВС.

Решение. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы , . Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движение груза в проекции на эту ось:

; или . (1)

Учитывая, что и подставляя проекции сил в уравнение (1), получим:

или

. (2)

После подстановки получим:

. (3)

Разделяя в уравнении (3) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим: ;

. (4)

По начальным условиям при t = 0, м/с находим ,

, (5)

или , откуда:

. (6)

Полагая в равенстве (6) t = 4 с, определяем скорость в точке В:

м/с.

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС. Найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью . Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы . Проведем из точки В оси и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Bx:

или

, (7)

где . Для определения N составим уравнение в проекции на ось . Так как , получим , откуда , кроме того, , и уравнение (7) примет вид:

(8)

Разделив обе части равенства (8) на и подставив эти значения в (8) получим:

. (9)

Умножая обе части уравнения (9) на и интегрируя, найдем:

. (10)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент . Тогда при , получим . Уравнение (10) принимает вид:

. (11)

Учитывая, что , и умножая обе части равенства (11) на и снова интегрируя, найдем:

. (12)

Так как при , , то . Окончательно искомый закон движения груза будет:

, (13)

где - в метрах, - в секундах.