- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразных.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы нахождения неопределенных интегралов.
- •4. Формула интегрирования по частям и ее вывод.
- •5. Интегрирование рациональных выражений. Деление многочленов.
- •6. Интегрирование рациональных выражений. Разложение в сумму элементарных дробей.
- •7. Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование элементарных дробей.
- •8. Интегрирование тригонометрических выражений.
- •9. Гиперболические функции.
- •10. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла.
- •11. Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.
- •12. Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу
- •13. Приложение определенного интеграла к вычислению площади области
- •14. Полярные координаты и вывод формулы площади криволинейного сектора.
- •Площадь криволинейного сектора
- •15. Приложение определенного интеграла к вычислению длины кривой, заданной
- •16. Комплексные числа: определение, обозначения, термины, арифметика.
- •17. Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексного числа.
- •Геометрический смысл умножения комплексных чисел:
- •18. Матрицы: определение, арифметика матриц. Связь матриц и систем линейных
- •Связь матриц и систем линейных уравнений
- •19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение
- •20. Определитель матрицы: определение, свойства, способы вычисления.
- •21. Применения определителей: правило Крамера, формула векторного произведения, формула смешанного произведения.
- •22. Векторы. Определения. Понятия равенства векторов и свободных векторов.
- •23. Понятия линейной комбинации, линейной зависимости векторов, коллинеарности,
- •24. Базис и система координат. Координаты вектора. Координаты точки.
- •25. Скалярное произведение: определение, свойства, формула нахождения
- •26. Понятие правой тройки векторов. Связь этого понятия с понятиями векторного
- •27. Векторное произведение: определение, свойства, формула вычисления через
- •28. Смешанное произведение: определение, свойства, формула вычисления
- •29. Уравнения плоскостей в пространстве общее, явное,
- •Формула расстояние от точки до плоскости
- •30. Уравнения прямых в пространстве общие, параметрические, канонические,
- •31. Примеры задач о плоскостях и прямых в пространстве, и методы их решения.
- •32. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
- •33. Градиент и его свойство ортогональности. Формулы касательной прямой к кривой
- •34. Частные производные высших порядков: обозначения, независимость от
- •35. Понятие полного дифференциала. Признак полного
12. Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу
интегрирования.
Здесь тоже из интернета, в лекциях нет этой теоремы.
Если в определенном интеграле изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.
Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: .
Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом:
Доказательство. По определению производной
где [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]= [по теореме о среднем]= где
Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при . Таким образом,
Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции .
13. Приложение определенного интеграла к вычислению площади области
в декартовых координатах.
1)Пусть на плоскости x0y задана область, ограниченная снизу кривой y=f1(x) , заданной в декартовых координатах, сверху – кривой y=f2(x) , слева – прямой x=a, справа – прямой x=b.
Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле:
2)Пример для более сложной фигуры:
14. Полярные координаты и вывод формулы площади криволинейного сектора.
Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.
Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).
Площадь криволинейного сектора
Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора. Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ: (γ задается в радианах).
Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами , ,…, что и при .
В силу свойств площади фигуры, площадь исходного криволинейного сектора представится суммой площадей криволинейных секторов на каждом участке разбиения . Пусть и - наименьшее и наибольшее значение функции на i-ом отрезке , . На каждом таком отрезке построим по два круговых сектора и с радиусами и соответственно.
Обозначим P и Q фигуры, являющиеся объединением круговых секторов , и соответственно. Их площади будут равны и , причем S(P) ≤ S(G) ≤ S(Q). Так как функция непрерывна на отрезке [α;β], то на этом отрезке будет также непрерывна функция . Для этой функции S(P) и S(Q) можно рассматривать аналогично нижней и верхней суммам Дарбу, что приводит нас к равенству
Таким образом, площадь криволинейного сектора находится по формуле .