Задание 3. Метрические пространства. Основные понятия и определения.
Функция называется метрикой (или расстоянием) в множестве , если:
-
для любых и тогда и только тогда, когда ;
-
для любых ;
-
Для любых ;
Число называется расстоянием между точками и .
Пара , где - метрика в Х, называется метрическим пространством. Условие (3) называется неравенством треугольника.
Пусть - метрическое пространство, - его точка и - положительное вещественное число. Множества , , называются, соответственно, открытым шаром, замкнутым шаром, и сферой пространства с центром в точке а и радиусом .
Метрическое пространство называется вполне ограниченным, если для любого существует такое конечное множество точек из , что .
Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.
Множество называется открытым в метрическом пространстве , если оно каждую свою точку содержит вместе с некоторым шаром с центром в этой точке.
Множество называется замкнутым в метрическом пространстве , если дополнение к нему в открыто.
Множество пространства называется совершенным, если оно замкнуто и не имеет изолированных точек.
Попарно непересекающиеся множества, границы которых принадлежат дополнительному замкнутому множеству, называются смежными множествами к этому дополнительному замкнутому множеству.
Если - метрическое пространство и , то сужение метрики на является метрикой в и - метрическое пространство. Оно называется подпространством пространства .
Пусть - векторное пространство (над полем R) .Функция : называется нормой, если:
-
для любого , тогда и только тогда, когда ;
-
Для любых ;
-
Для любых .
Векторное пространство с выделенной нормой называется нормированным.
Топологическое пространство называется метризуемым, если его топологическая структура порождается некоторой метрикой.
Две метрики в одном множестве называются эквивалентными, если они порождают одну и ту же топологию.
Пусть - метрическое пространство, . Расстоянием от точки до множества называется число . Оно обозначается через .
Диаметром множества называется число .
Множество ограничено, если .
Пусть - последовательность точек некоторого метрического пространства . Говорят, что эта последовательность сходится к точке (), если каждая окрестность точки содержит все точки , начиная с некоторой, т. е. если для любого найдётся такое , что содержит все точки с . Точка называется пределом последовательности . Это определение равносильно тому, что
Последовательность называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т. е. если для любого существует такое число , что , для всех , .
Пространство называется полным, если в нём сходится любая фундаментальная последовательность.
Пусть - метрическое пространство. Отображение пространства в себя называется сжимающим отображением, или сжатием, если существует такое число , что для любых двух точек выполняется неравенство
.
Точка называется неподвижной точкой отображения , если