Обратная решётка
3.1 Понятие обратной решётки.
При реализации методов Лауэ и Вульфа- Брэггов пользуются понятием обратной решётки. Обратной решеткой называют связанную с кристаллом некую гипотетическую пространственную точечную решетку, обладающую следующими свойствами :
радиус - вектор обратной решетки
соединяющий начальный узел 000 с любым другим узлом HKL, перпендикулярен атомной плоскости с индексами Миллера (hkl) в прямой решетке (H = nh, K = nk, L = nl., где n – целое число);
длина вектора обратной решетки определяется соотношением:
где d hkl — межплоскостное расстояние в прямой решетке.
Индексы узлов в обратной решетке НКL равны соответствующим индексам Лауэ в теории дифракции. Плоскостям прямой решетки соответствуют узлы обратной и наоборот.
Трансляции обратной
решётки
связаны с трансляциями прямой
соотношениями:
3.2 Интерференционная функция Лауэ
Интерференционная функция Лауэ
эквивалентна
трём уравнениям Лауэ. Умножив скалярно
левую и правую части уравнения на
,
получим первое уравнение Лауэ
.
Аналогично,
умножив скалярно левую и правую части
интерференционной функции Лауэ на
и
,
получим второе и третье уравнения Лауэ.
Из интерференционной функции Лауэ можно легко получить уравнение Вульфа Брэгга:
.
Следует отметить, что каждое отражение характеризуется индексами HKL. Необходимо различать индексы Лауэ HKL и индексы Миллера (hkl) - индексы Миллера не имеют общего множителя, индексы Лауэ, определяющие число длин волн в разности хода между рентгеновскими лучами, рассеянными соседними узлами, могут иметь общий множитель. Между индексами Лауэ HKL и индексами Миллера (hkl) имеется соотношение
H = nh, K = nk, L = nl.
3.3 Сфера Эвальда
Для удобства понимания рассмотрим геометрическую интерпретацию условия «отражения » рентгеновских лучей, используя представление об обратной решётке.
На рис.8 показан участок одной из её плоскостей.
Рис.8
Примем
узел 000 за начало координат пространства
обратной решетки и построим в направлении
первичного пучка рентгеновских лучей
отрезок, численно равный λ-1
.
Этот отрезок берёт начало в точке О, в
которой находится отражающий объект,
и заканчивается в узле 000. Изображается
он вектором
.
Опишем вокруг начала
вектора
сферу радиусом λ-1.
Эту сферу называют сферой Эвальда.
Сечение этой сферы плоскостью чертежа
дает окружность. Сфера Эвальда всегда
проходит через начальный узел 000. Если
сфера Эвальда пересекает еще какой-либо
узел, то возможно появление дифракционного
максимума в направлении
.
Действительно, из равнобедренного
треугольника на
рис.8
следует,
что в этом случае выполняется
интерференционная функция Лауэ
.
Сферой Эвальда пользуются для нахождения направления дифрагированных лучей. Решётку можно поворачивать вокруг вектора при неподвижной сфере Эвальда. Дифрагированные лучи возникают в том случае, когда узлы обратной решётки оказываются на сфере Эвальда, поэтому её называют ещё сферой отражения или сферой распространения.
Направления векторов , проведённых из точки О к таким узлам, укажут направления дифрагированных лучей. Когда кристалл находится в случайном положении, то на поверхность сферы Эвальда ни один узел обратной решётки может не попасть. Следовательно, отражения в этом случае не будет.
Таким образом, построение Эвальда позволяет геометрически находить дифрагированные лучи, соответствующие различным ориентациям решётки.
Непрерывная серия дифракционных картин, полученных при различных положениях кристалла (или при различных длинах волн), позволяет создать весь спектр кристалла, всю его обратную решётку, тесно связанную с отражающим объектом.
Подведём итог. Итак, для того, чтобы рентгеновские лучи отражались от какой-нибудь атомной плоскости (hkl), сфера отражения, кроме начала координат, должна проходить также через соответствующий данной плоскости узел обратной решетки HKL, соединенный с началом координат вектором
.
Если на неподвижный монокристалл направлен пучок монохроматических рентгеновских лучей, то в общем случае ни один из узлов обратной решетки может не оказаться на сфере распространения – никакого отражения при этом не будет. Для того чтобы получить отражение от одной или нескольких атомных плоскостей, необходимо добиться выхода одного или нескольких узлов обратной решетки на сферу отражения. С этой целью нужно, либо использовать пучок лучей с непрерывным спектром тормозного излучения, либо тем или иным способом менять ориентировку кристалла по отношению к монохроматическому пучку рентгеновских лучей. Методы получения дифракционных рентгенограмм различаются способами выведения узлов обратной решетки на поверхность сферы распространения. Рассмотрим эти методы.