2.7 Расчет цепи с применением метода преобразования «треугольника» сопротивлений в «звезду»
Дано: ( рис. 28) Е=3,6 В; r0 = 0,12 Ом; r1 = 8 Ом; r2 = 10 Ом; r3 = 2 Ом; r4 = 4 Ом; r5 = 5 Ом.
Найти: все токи.
Решение задачи:
1. Особенности рассматриваемой цепи.
Покажем на схеме направление общего тока I, который разветвляется в узловой точке А на два: I1 и I2. Дальше следовало бы показать направление тока I3 между узлами Б и В, но он может иметь два направления (показаны на рисунке сплошной и пунктирными стрелками). Действительное направление тока I3 зависит от параметров схемы и определяется только после расчета цепи.
Итак, в рассматриваемой цепи не только величины токов, но их направления (в отдельных ветвях) определяются расчетом.
Кроме того, до сих пор расчет цепей с одним источником энергии основывался на упрощении схемы с последовательно и параллельно соединенными сопротивлениями. Возможен ли такой путь решения данной задачи?
Оказывается, нет. Рассматриваемая цепь не имеет параллельно и последовательно соединенных
сопротивлений. Действительно, с одной стороны,
нет сопротивлений, подключенных к одной и той же паре узлов (условие параллельного соединения), с другой – нет сопротивлений, обтекаемых одним и тем же током (условие последовательного соединения).
Итак, рассматриваемая цепь не может быть разбита на последовательно и параллельно
соединенные участки (ветки). Такие электрические цепи иногда называют сложными, поэтому и рассматриваемую цепь (рис. 28) можно отнести к числу сложных.
Р
ис.
28.
2. Вычисление общего сопротивления.
Определить общее сопротивление цепи теми же методами, что и в предыдущих задачах, в данном случае нельзя. Поэтому возникает вопрос: нельзя ли преобразовать схему так, чтобы применение прежних методов стало возможным?
Оказывается,
можно, если соединение сопротивлений
треугольником преобразовать в соединение
звездой или, наоборот, звезду сопротивлений
в треугольник. Выполним преобразование
для треугольника сопротивлений R1,
R2 и R3
(Рис. 28)
а)
б)
Рис. 29 а, б.
Прежде всего перечертим схему без заменяемого треугольника сопротивлении, но с обозначенными вершинами А, Б, В (рис. 29, а). Затем к этим вершинам присоединим звезду сопротивлений RА,RБ и RВ (рис. 29, б). Учитывая, что каждое сопротивление звезды равно произведению двух примыкающих сопротивлений треугольника, разделённому на сумму трёх его сопротивлений, находим:
Ом;
Ом;
Ом.
Дальше расчёт эквивалентной схемы по рис. 29, б ведётся уже известными методами. Действительно, сопротивление RВ соединено последовательно с R4, а сопротивление RБ – последовательно с R5; поэтому для ветви ОВГ общее сопротивление RВ,4=RВ+R4=0,8+4=4,8 Ом, а для ветви ОБГ RБ,5= RВ+R5=1+5=6 Ом. Сопротивление RВ,4 и RВ,5 соединены параллельно, и их общее сопротивление
Ом.
Общее сопротивление всей цепи Rоб=RА+ r0Г=4+2,67=6,67 Ом.
3. Вычисление токов. Определение токов в цепях, подобных полученной (рис. 29, б), уже выполнялось в предыдущих задачах и приводится здесь без подробных пояснений.
Ток источника
А.
Ток ветви ОВГ
Ток ветви ОБГ
А.
Поскольку участки ВГ и ГБ (рис. 28 и 29, б) не преобразовались, то вычисление токов I4 и I5 действительны для обеих схем. Переходим к исходной схеме (рис. 28); запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура ВБГ (ток I3 будем считать направленным, как показано сплошной стрелкой):
.
Подставляя числовые значения, получаем:
или
,
т.е. I=0;
;
.
* Дополнительные вопросы к задаче
1. Случайно ли ток I3 оказался равным нулю?
Рассматривая цепь (рис. 28) называется мостовой. в мостовой цепи ток I3 в ветви ВБ, называемой диагональю моста, равен нулю, если произведения сопротивлений противоположных плеч одинаковы. Действительно, в нашем случае R1R5=8×5=40 и R2R4=10×4=40. Поэтому и оказалось I3=0.
Мостовые схемы широко применяются в технике электрических измерений и, в частности, для измерения сопротивлений.
2. Сколько в рассмотренной цепи (рис. 28) соединений звездой и сколько треугольником?
В этой цепи соединения звездой (R1, R3, R4 и R2, R3, R5) и два соединены треугольником (R1, R2, R3 и R3, R4, R5).
3. Можно ли решить задачу преобразованием звезды в треугольник?
а)
б)
Рис. 30 а,б
Для преобразования можно выбрать любую звезду или любой треугольник. Отдают предпочтение такому преобразованию, которое быстрее приводит к решению задачи. В данном случае можно также успешно решить задачу заменой любой звезды треугольником, например звезды R1,R3,R4.
Прежде всего исключим заменяемую звезду (рис. 30, а) и к вершинам А, Б, и Г присоединим треугольник сопротивлений RАБ, RБГ, RГА (рис. 30, б). Для определения сопротивления треугольника нужно взять сумму трех слагаемых: двух примыкающих сопротивлений звезды и их произведения, разделенного на третье сопротивление звезды.
Таким образом,
Ом;
Ом;
Ом.
Далее определим опять общее сопротивление цепи. В полученной схеме (рис. 30, б) имеются две пары параллельного соединенных сопротивлений RАБ и R2; RБГ и R5. Их общие сопротивления равны:
Ом;
Ом;
и общее сопротивление всей цепи
Ом.
Как и следовало ожидать, получился тот же результат что и в предыдущем варианте преобразования.
4. Как учесть направление тока в диагонали моста?
В начале решения было указано, что ток I3 может иметь два направления, причём действительное направление заранее неизвестно. Поэтому сначала направление выбираем произвольно. Если направление тока выбрано неправильно, то в результате расчёта получится отрицательное значение тока.
5. Какое наименьшее число узлов и сопротивлений имеет схема, требующая применения метода преобразования соединения сопротивлений треугольником и звездой?
Цепи с двумя и тремя узлами всегда рассчитываются без применения такого преобразования, так как имеют только последовательные и параллельные участки. Но в цепях с четырьмя и более узлами может потребоваться преобразование треугольника сопротивлений в звезду или наоборот.
6. Можно ли при решении этой задачи обойтись без преобразования треугольника в звезду?
Как уже было показано, для упрощения схемы преобразование неизбежно. Но можно обойтись и без преобразования, если воспользоваться методами расчёта сложных цепей.