Арыфметыка эвм Сістэмы злічэння

Пад сістэмай злічэння будзем разумець спосаб уяўлення любога ліку пры дапамозе некаторага алфавіта сімвалаў, якія называюцца лічбамі.

Сістэма злічэння (с/зл) называецца пазіцыйнай, калі адна і тая ж ліч­ба мае рознае значэнне, якое адпавядае пазіцыі лічбы ў паслядоўнасці ліч­баў, што ўтвараюць лік.

Колькасць S розных лічбаў, якія выкарыстоўваюцца ў пазіцыйнай сі­стэ­ме злічэння, называецца яе асновай. Лічбы, якія выкарыстоўваюцца ў сіс­тэ­ме злічэння для запісу лікаў, называюцца базіснымі лікамі. Гэтыя лічбы абаз­на­ча­юць S цэлых лікаў, звычайна такога рада: 0, 1, 2, 3, .... У сістэмах злічэння, дзе лічбы большыя за 9 абазначаюць лі­та­ра­мі.

Сістэма злічэння	Аснова сістэмы злічэння	Базісныя лікі
10-я	10	0, 1, 2, 3, …, 9
2-я	2	0, 1
16-я	16	0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F

У агульным выпадку ў пазіцыйнай сістэме з асновай S любы лік x мо­жа быць прадстаўлены ў выглядзе палінома ад асновы S:

(1)

дзе ў якасці каэфіцыентаў могуць стаяць любыя з S лічбаў, якія вы­ка­рыс­тоў­ва­юц­ца ў сістэме злічэння.

Замест віду (1) прынята пісаць карацей:

(2)

Пазіцыі лічбаў, якія адлічваюцца ад раздзяляльніка цэлай і дробавай час­т­кі, называюцца разрадамі. Раздзяляльнік у матэматыцы – коска, у праг­ра­мі­ра­ван­ні – кропка.

У пазіцыйнай сістэме злічэння значэнне кожнага разраду больш за зна­чэн­не суседняга справа разраду ў лік разоў роўна аснове S сістэмы.

У 2-й с/зл (S = 2) выкарыстоўваюць лічбы 0, 1; тады любы лік, за­пі­са­ны ў выглядзе (2), можна запісаць у форме палінома (1) так:

дзе

Напрыклад:

Пры выкананні арыфметычных дзеянняў над лікамі прымяняюць таб­ліцы складання, аднімання і множання.

Табліцы складання, аднімання і множання ў 2-й с/зл.

0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 · 0 = 0
0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	0 · 1 = 0
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1 · 0 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1 · 1 = 1

У 2-й с/зл добра выконваць арыфметычныя дзеянні, ды і для ўяўлення раз­ра­ду двайковага ліку можна выкарыстаць любы просты элемент, які мае ўся­го два ўстойлівыя станы. Таму амаль усе ЭВМ працуюць у 2-й с/зл.

Аднак двайковае ўяўленне цэлага ліку патрабуе большага ліку раз­ра­даў, чым яго 10-е ўяўленне (прыблізна ў 3,03 раза).

На наступным прыкладзе прасочым, як можна перакласці папярэдні лік з 2-й с/зл у 16-ю с/зл:

Калі над лікам, запісаным у 16-й с/зл, выканаць дзеянні ў 10-й с/зл, то атрымаем пераклад гэтага ліку з 16-й с/зл у 10-ю с/зл.

Напрыклад:

Пераклады лікаў з адной сістэмы злічэння ў другую

Агульны метад перакладу невялікіх лікаў з адной сістэмы злічэння ў дру­гую: распісаць лік паліномам (1) і выканаць дзеянні ў новай сістэме злі­чэн­ня.

Разгледзім пераклады лікаў з 2-й с/зл у 16-ю с/зл ці 8-ю с/зл і на­ад­ва­рот. Правілы выключна простыя, бо аснова 8-й і 16-й с/зл ёсць цэлыя сту­пе­ні ліку 2:

Уяўленне лікаў розных сістэм злічэння даецца ў наступнай табліцы.

Сістэма злічэння			Для перакладу 2-я с/зл  16-я  с/зл	Для перакладу 2-я с/зл  8-я с/зл
10-я	16-я	2-я
0	0	0	0000	000
1	1	1	0001	001
2	2	10	0010	010
3	3	11	0011	011
4	4	100	0100	100
5	5	101	0101	101
6	6	110	0110	110
7	7	111	0111	111
8	8	1000	1000
9	9	1001	1001
10	A	1010	1010
11	B	1011	1011
12	C	1100	1100
13	D	1101	1101
14	E	1110	1110
15	F	1111	1111
16	10	10000
...	...	...

З гэтай табліцы відаць, што любая 16-я лічба патрабуе 4 двайковыя разрады, а 8-я – 3 разрады. Тады атрымаем наступнае правіла перакладу.

Правіла 1. Каб перакласці лік з 16-й с/зл у 2-ю с/зл, трэба любую лічбу рас­пісаць у 2-й с/зл па 4 разрады (з 8-й с/зл у 2-ю с/зл – па 3 разрады; з 4-й с/зл у 2-ю с/зл – па 2 разрады), а потым адкінуць нязначныя нулі.

Гэта правіла можна вывесці строга. Напрыклад, для 16-й с/зл:

Паколькі множнік дае ў 2-й с/зл пераход адразу праз 4 разрады, значыць, і распішам кожную 16-ю лічбу 4 разрадамі праз гэты ж інтэрвал (кожнаму каэфіцыенту даюцца 4 двайковыя разрады). Напрыклад:

Правіла 2. Каб перакласці з 2-й с/зл у сістэму злічэння з асновай трэба ад кропкі налева і направа вылучыць групы па лічбаў (дапаўняючы пры неабходнасці нулямі крайнія групы) і кожнай групе паставіць у адпаведнасць пэўную лічбу новай сістэмы.

Напрыклад:

2-я с/зл  8-я с/зл

2-я с/зл  16-я с/зл

Пераклад лікаў з сістэм злічэння можна здзяйсняць праз 2-ю с/зл.

У тэкстах праграм 16-я с/зл і 8-я с/зл прымяняюцца для больш кароткага і зручнага запісу двайковых кодаў каманд, адрасоў і аперандаў.