- •Методичні вказівки
- •Розділи
- •Контрольні роботи № 1 та № 2 Затверджено на засіданні
- •Передмова
- •І. Механіка
- •§1. Кінематика
- •Абсолютне значення повного прискорення
- •§2. Динаміка Основні формули
- •§3. Механічні коливання та пружні хвилі Основні формули
- •Приклади розв'язування задач
- •Д ано: l ____ h – ? Розв’язання
- •Контрольна робота № 1
- •Задачі для самостійного розв'язування
§3. Механічні коливання та пружні хвилі Основні формули
a) Гармонічні коливання
Рівняння гармонічних коливань:
x = A sin (o t + ), (1.45)
де x – зміщення точки від положення рівноваги, різне для різних моментів часу, А – амплітуда, 0 – колова частота(кількість коливань, що відбуваються за 2 секунд), – початкова фаза.
Враховуючи, що
= 2/Т = 2o , (1.46)
де Т – період коливань, o=1/Т – лінійна частота коливань (кількість коливань, що відбуваються за 1 сек.), формулу (1.45) можна записати також у вигляді:
x = A sin {(2/T) t + } = A sin (2o t +). (1.45*)
Швидкість V і прискорення a точки, що здійснює гармонічні коливання, визначаються співвідношеннями:
, (1.47)
. (1.48)
Гармонічний коливальний рух виникає під дією квазіпружної сили F – сили, величина якої прямо пропорційна зміщенню частинки з положення рівноваги, а напрям протилежний до зміщення:
F = – kx , (1.49)
де k – коефіцієнт пропорційності (пружна стала).
Згідно з другим законом Ньютона рух частинки під дією квазіпружної сили описується рівнянням:
ma = – kx або .
Поділивши обидві частини рівняння на m і позначивши k/m =o2, одержимо диференціальне рівняння гармонічних коливань у загальній формі:
. (1.50)
Вираз (1.45) є загальним розв'язком рівняння (1.50) при довільних А і , якщо
. (1.51)
Прикладом коливань під дією квазіпружної сили є коливання математичного маятника. Колова частота і період коливань математичного маятника:
; , (1.52)
де g – прискорення вільного падіння, l – довжина математичного маятника.
Кінетична енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання:
.
Потенціальна енергія:
.
Повна енергія гармонічних коливань:
. (1.53)
б) Згасаючі коливання
При згасанні коливань їхня амплітуда зменшується з часом.
Згасання коливань описують, вводячи силу тертя, пропорційну швидкості частинки, яка коливається:
F'= – rv = – rx,
де r – коефіцієнт пропорційності, а знак мінус означає, що сила протидіє рухові.
При наявності згасання рівняння руху (диференціальне рівняння власних загасаючих коливань) має вигляд:
або в загальній формі:
, (1.54)
Його розв'язком буде:
x = A e– tsin (t + ) (1.55)
або
x = A e– tcos (t + ),
тут А – амплітуда коливань у початковий момент часу t = 0, – коефіцієнт згасання, – колова частота гармонічних коливань.
Величина
(1.56)
називається логарифмічним декрементом згасання. Тут А(t) – амплітуда коливань в момент часу t, А(t+T) – амплітуда коливань у момент часу t+T (через період).
в) Вимушені коливання
Вимушені коливання відбуваються під дією періодичної сили F, причому
F = Fosin . (1.57)
Коливання матеріальної точки в такому випадку описуються рівнянням руху:
. (1.58)
Вимушені коливання точки відбуватимуться за законом:
x = A sin (t + ), (1.59)
де амплітуда А і фаза вимушених коливань визначаються співвідношеннями:
; . (1.60)
Резонанс (максимальне значення амплітуди вимушених коливань) буде досягнуто за умови, коли частота вимушених коливань пов'язана з частотою власних коливань o та коефіцієнтом загасання наступним співвідношенням:
. (1.61)
г) Пружні хвилі
Рівняння плоскої біжучої хвилі:
, (1.62)
де y – зміщення будь-якої точки середовища з координатою x у момент часу t від положення рівноваги; v – швидкість поширення коливань у середовищі.
Або, врахувавши, що довжина хвилі
= vT , (1.63)
а хвильове число
, (1.64)
співвідношення (1.62) можна записати у вигляді:
y= A sin (t – kx). (1.62*)
Різниця фаз коливань двох точок, що лежать на промені на відстані x1 і x2 від джерела коливань
. (1.65)