4.1.3. Обчислення кількости тепла за істинною і середньою теплоємностями

Означення істинної теплоємности використовується для обчислення кількости тепла. З (4.9) випливає, що

δq_x = с_xdT. (4.15)

Для кінцевого процесу х сумарна кількість тепла дорівнює:

q_x,1→2 = _, (4.16)

де t – температура за шкалою Цельсія.

Якщо с_х не залежить від температури (рис.4.2), то площа F(t₁,1,2,t₂) чисельно дорівнює кількости тепла процесу х:

q_x,1→2 = с_х (t₂ – t₁). (4.17)

Що є, безумовно, ідеалізацією. В цьому випадку поняття істинної і середньої теплоємности співпадають.

C

С₁ = С₂ 1 2

F

t₁ t₂ t

Рис.4.2. Залежність теплоємности від температури при c (t) = const

Якщо c_х залежить від температури (рис.5.3), то площа F(t₁,1,2,t₂) чисельно дорівнює кількости тепла процесу х:

q_x,1→2= .

І для того, щоб обчислити цей інтеграл, необхідно мати аналітичний вираз с_х = f (t).

Результати експерименту по визначенню теплоємности апроксимують многочленом k-го порядку:

c_х=b₀+b₁t + b₁₁t² + b₁₁₁t³ + …. + b₁…₁ t^k, (4.18)

або c_х=b₀+b₁t + b₁₁ t^-2 + b₁₁₁ t^-3 + …+ b_1…1 t ^{– k}, (4.19)

де c_х = b₀ ,b₁ , b₁₁ .... – емпіричні коефіцієнти, які мають певні значення для даного інтервалу температур.

Часто достатньо наближення другого порядку:

c_х=b₀+ b₁t + b₁₁t² ; (4.20)

c_х=b₀+b₁t + b₁₁t ^-2, (4.21)

або іноді і першого порядку:

c_х=b₀+b₁t. (4.22)

Для (4.22) b₀ і b₁ можна визначити графічно (рис.4.3) _.

с

с₂

2

1

2

b

a

с₁

1

t₁ t₂ t

Рис.4.3. Залежність теплоємности від температури при с = var ≠ const:

1 − Лінійна залежність; 2− нелінійна залежність

Кількість тепла, що витрачається на нагрів n молей речовини від t₁ до t₂, визначається співвідношеннями:

з (4.20)

;(4.23)

з (4.21)

Q_x,1→2 ;

з (4.22) Q_x,1→2= . (4.24)

Але часто аналітичний вигляд функції с_х = f(t) невідомий, тоді для обчислення кількости тепла користуються означенням середньої теплоємности, яка визначена для кінцевого інтервалу температур (рис. 4.3):

с_mx . (4.25)

Вираз (4.25) характеризує в загальному вигляді зв’язок між середньою та істинною теплоємностями. Тоді,

q_{x, 1→2} = с_{m x} . (4.26)

Зауважимо, що питомі теплоємности (масова, об’ємна, мольна) визначені як для істинної, так і середньої теплоємностей.

Експериментально знайдені (або теоретично розраховані) величини середніх теплоємностей можуть бути зведені в таблиці (табульовані), але при цьому необхідний перебір всіх сполучень температур. Тому, при табулюванні необхідно задатися початковою (реперною) точкою, наприклад t₀ = 0˚C.

Знайдемо співвідношення істинної і середньої теплоємностей за допомогою рівнянь (4.16), (4.25), (4.26):

(4.27)

Таким чином, рівняння (4.27) дозволяє за табличними даними розрахувати значення середньої теплоємности для будь-якого інтервалу температур. Тоді, з (4.26) витікає розрахунок тепла за допомогою середньої теплоємности:

q_{x, 1→2}= C_mx (4.28)

якщо р=const q_{p, 1→2}=C _mp (4.29)

якщо v=const q_{v, 1→2}=C _mv (4.30)

Якщо реперна (характеристична) температура t₀ =298К (точно 298,15К), то с_{m x} ;

q_{x, 1→2}=C_mx

Якщо реперна температура є потрійна точка а (для води t_a = 0,01˚C), то

;

.

Для визначення істинної теплоємности за середньою необхідно продиференціювати за температурою:

С_х= . (4.31)

За емпіричними даними середню теплоємність розраховують за формулою:

C_mp

а) за інтерполяційним рівнянням С_p = b₀ + b₁t + b₁₁t² + b₁₁₁t³

dt=

;

б) за інтерполяційним рівнянням С_х = b₀ + b₁t + b₁₁t^-2

C_mx ;

в) за інтерполяційним рівнянням С_х = b₀ + b₁t + b₁₁t²

C_mx ;

г) за інтерполяційним рівнянням С_х = b₀ + b₁t

C_mx .

q

4

3

2

1 q₂

q₁

Δt₁ Δt₂ t

Рис.4.4. Залежність кількости тепла від температурної ділянки та

інтервалів температурного визначення процесу

Але обчислення кількости тепла з використанням середньої теплоємности має недоліки, так як кількість тепла і середня теплоємність залежать від інтервалу температур Δt та певної температурної ділянки визначення процесу (рис.4.4): а) якщо Δt₁ = Δt₂, то q_{x, 1→2} < q_{x, 3→4};

б) якщоΔt₁ < Δt₂, то q_{x, 1→2} > q_{x, 3→4} .