2.3.Числовые характеристики распределения

Аналогом математического ожидания в статистике является среднее арифметическое наблюдённых значений случайной величины или статистическое среднее:

где N – число опытов. Согласно закону больших чисел при неограниченном увеличении числа опытов статистическое среднее приближается к математическому ожиданию. Подобные аналогии существуют для всех числовых характеристик. Будем обозначать их теми же буквами со звёздочкой.

Статистическая дисперсия:

- статистическое среднее.

Аналогично определяются статистические начальные и центральные моменты любых порядков:

.

Статистическая медиана определяется как середина вариационного ряда, то есть

Статистическая мода определяется из гистограммы как координата середины наиболее высокого столбика. Если j номер такого интервала, то

,

где - границы j-того интервала.

2.4.Оценка параметров распределения

При обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения. Такая задача называется задачей выравнивания статистических рядов и состоит в подборе теоретической плавной кривой распределения, наилучшим образом описывающей данное распределение.

Наиболее часто применяется метод наименьших квадратов, при котором сумма квадратов отклонений обращается в минимум. Часто вид случайной функции известен заранее, и нужно лишь определить параметры этой функции. Для решения этой задачи часто применяют различные методы оценки параметров.

Чаще всего используют следующие методы:

• метод моментов;

• метод максимального правдоподобия.

2.4.1. Метод моментов.

Согласно методу моментов параметры распределения выбираются таким образом, чтобы моменты статистического распределения совпадали с соответствующими моментами предполагаемого закона распределения. Если предполагаемый закон распределения случайной величины X имеет один параметр, то он оценивается в результате решения уравнения

.

Е сли число параметров 2, то приравниваются первые два момента, в результате получаем систему из следующих двух уравнений для оценки неизвестных параметров распределения:

,

.

Если параметров 3, то приравниваются первые три момента и решают систему уже из трех уравнений и так далее.

Проиллюстрируем применения этого метода на конкретных примерах.

Пример 1. В результате наблюдений за работой станка были получены следующие значения наработки до отказа: . Известно, что наработка на отказ подчиняется показательному распределению с плотностью

.

Для этого распределения , а .

Таким образом, получаем следующую формулу для оценки параметра a показательного распределения по опытным данным:

.

Пример 2. В результате контроля размера X партии из N деталей были получены значения . Требуется оценить по этой выборке параметры распределения, в предположении его нормальности. Плотность нормального распределения имеет вид:

.

Это распределение имеет два параметра и , поэтому для их оценки имеем два уравнения, полученные отмеченным выше приравниванием математических ожиданий и дисперсий:

.