2.5. Асимптоти

Означення. Асимптотою графіка функції називається пряма, до якої як завгодно близько наближається графік даної функції, коли аргумент прямує до нескінченності або до деякого числа у випадку вертикальної асимптоти.

Асимптоти можуть бути вертикальними, нахиленими і горизонтальними.

Вертикальна асимптота – це пряма , якщо .

Н

Рис. 3

ахилена асимптота – це пряма , де коефіцієнт нахилу k і коефіцієнт зміщення b знаходяться шляхом обчислення границь: , . Якщо , то маємо горизонтальну асимптоту. На рис. 3 наведено графік функції , вертикальних асимптот , та нахиленої асимптоти .

2.6. Явно і неявно задані функції

Функція називається заданою явною, якщо вона задана формулою, в якій права частина не містить залежної змінної, наприклад, функція .

Функція називається заданою неявною, якщо вона задана рівнянням , не розв’язаним відносно залежної змінної, наприклад, функція задана рівнянням . (Зауважимо, що останнє рівняння задає дві функції, для , і для ).

2.7. Параметрично задані функції

Якщо функціональна залежність між змінними х і у виражена через третю змінну, наприклад, t, що називається параметром, тобто

,

то кажуть, що функція у від змінної х задана параметрично.

Наприклад, параметрично задана функція визначає рівняння кола з радіусом R. Справді, якщо ліву і праву частину кожного рівняння піднесемо до квадрату і додамо, то, враховуючи, що , дістанемо відоме рівняння кола із центром у початку координат .

2.8. Обернені функції

Нехай є функція від незалежної змінної х, визначена на множині Х із множиною значень Y. Поставимо у відповідність кожному y Y єдине значення х  X, для якого . Тоді одержана функція визначена на множині Y з областю значень Х, називається оберненою. Наприклад, для функції y=a^x оберненою буде функція y=log_ax.

Можна показати, що для будь-якої строго монотонної функції y=f(x) існує обернена функція.

Щоб знайти функцію обернену до заданої функції , достатньо розв’язати рівняння відносно змінної x (якщо це можливо). Оскільки кожна точка (x, y) кривої є одночасно точкою кривої то графіки взаємно обернених функцій і збігаються. Якщо ж додатково вимагається, щоб, як звичайно, незалежна змінна позначалась через х, а залежна – через y, то замість функції матимемо функцію . З цього випливає, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси пер­шого і третього координатних кутів, тобто прямої .

Нехай, наприклад, потрібно знайти обернену функцію до заданої функції . Для цього розв’яжемо рівняння відносно змінної х: і замінимо х на у і, навпаки, у на х. Таким чином, обернена функція до заданої буде мати вигляд .

2.9. Складна функція

Нехай функція є функція від незалежної змінної u, визначена на множині з областю значень , а змінна у свою чергу є функцією від змінної , визначеної на множині з областю значень . Тоді задана на множині функція називається складною функцією або функцією від функції.

Наприклад, – складна функція, оскільки її можна подати у вигляді , .