Средние величины

Средняя величина – это показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

При вычислении средних величин должны выполняться следующие условия:

• средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности, для получения которой часто необходима группировка данных;

• для вычисления средних должны быть использованы массовые данные, в которых погашаются колебания в величине признака, вызванные случайными причинами.

Средняя величина всегда имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Наиболее часто применяются следующие виды средних величин:

• средняя арифметическая;

• средняя гармоническая;

• средняя геометрическая;

• средняя квадратическая.

Перечисленные средние величины называются простыми или невзвешенными, если каждый вариант в данной совокупности встречается только один раз. Если варианты повторяются различное число раз, то средняя величина называется средней взвешенной, а число повторений вариантов называется частотой или статистическим весом.

Все перечисленные средние величины рассчитываются по формуле средней степенной:

• формула средней степенной порядка z используется, если имеются варианты x₁^z, x₂^z, …, x_n^z

• формула средней степенной взвешенной используется, если имеются варианты и частоты m₁, m₂, …, m_n

• 

где

– средняя степенная;

- показатель степени, позволяющий определить вид средней;

вариант;

число вариантов;

частота, или статистический вес варианта.

В некоторых случаях частоты отдельных вариантов могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными. Они называются частостями. Частости – это частоты, выраженные в относительных числах (долях или процентах) и рассчитанные путём деления частоты каждого интервала на их общую сумму:

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая – наиболее распространённый вид средней. Если вид средней не указывается, то подразумевается средняя арифметическая.

Средняя арифметическая получается, когда в формулу степенной средней подставляется значение z=1.

Средняя арифметическая простая:

Средняя арифметическая взвешенная:

Если совокупность разбита на группы и для каждой группы вычислена средняя арифметическая, то общая средняя для всей совокупности рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве вариантов выступают групповые средние, а в качестве веса численность каждой группы.

где

– средняя арифметическая i-й группы;

n_i – численность i-й группы.

Пример 2. В результате опроса пяти человек оказалось, что они имеют соответственно 3, 1, 2, 0, 2 домашних животных. Определить среднюю арифметическую.

Средняя арифметическая представленных чисел будет равна:

Получается, что в среднем на одного человека приходится 1,6 домашних животных.

Пример 3. Результаты опроса людей о количестве имеющихся у них домашних животных представлены в первом и втором столбцах Таблицы 2.

Таблица 2. Сведения о количестве домашних животных

Количество домашних животных, шт. xi	Количество человек, чел. mi	ximi
1	11	11
2	7	14
3	5	15
4	2	8
Итого	25	48

Вычислить среднее число домашних животных.

Для вычисления средней взвешенной необходимо произвести дополнительные вычисления (x_im_i). Результаты этих вычислений размещены в третьем столбце таблицы. Затем вычисляется средняя взвешенная:

В результате получается, что на одного человека приходится 1,92 домашних животных.

Пример 4. Средний возраст сотрудников четырёх магазинов фирмы 35, 29, 42 и 37 лет. Численность сотрудников в этих магазинах соответственно равна 14, 12, 22 и 19 человек. Определить средний возраст сотрудников фирмы, работающих в магазинах.