Геометрический смысл решений неравенств, уравнений и их систем

Теорема 1. Множество решений неравенства с двумя переменными а11х1 + а12х2 <= b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой а11х1 + а12х2 = b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства а11х1 + а12х2 >= b1.

Пример:

3х1 – 4х2 + 12 <= 0

Для определения искомой полуплоскости (верхней или нижней) рекомендуется задать произвольную контрольную точку, не лежащую на ее границе – построенной прямой. Если неравенство выполняется в контрольной точке, то оно выполняется и во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости.

Учитывая, что множество точек, удовлетворяющих уравнению

а11х1 + а12х2 +… + a1nxn = b1

при n=3 является плоскостью, а при n>3 – ее обобщением в n – мерном пространстве – гиперплоскостью, можно обобщить вышесформулированную теорему на случай трех и более переменных.

Теорема 2. Множество решений совместной системы m линейных неравенств с двумя переменными

а 11*Х1 + а12*Х2 <= В1

а21*Х1 + а22*Х2 <= В2

………………………….

аm1*Х1 + аm2*Х2 <= Вm

является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью).

Каждое из неравенств в соответствии с теоремой 1 определяет одну из полуплоскостей, являющуюся выпуклым множеством точек (из математики: выпуклое множество точек – если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки). Множеством решений совместной системы линейных неравенств служат точки, которые принадлежат полуплоскостям решений всех неравенств, т.е. их пересечению. Согласно существующей теореме о том, что пересечение (общая часть) любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество – множество решений совместной системы линейных неравенств является выпуклым и содержит конечное число угловых точек, т.е. является выпуклым многоугольником (выпуклой многоугольной областью).

Пример: Построить множество решений системы неравенств

- 5х1 + 4х2 <= 20 (I)

2х1 + 3х2 <= 24 (II)

х1 - 3х2 <= 3 (III)

x1 >= 0 (IV)

0 <= x2 <= 6 (V, VI)

Координаты угловых точек – вершин многоугольника находятся как координаты точек пересечения соответствующих прямых. Например, точка D – пересечение прямых II и III, т.е. ее координаты являются решением системы

2 х1 +3х2 <= 24 (II)

х1 - 3х2 <= 3 (III)

откуда Х1 = 9, Х2 = 2, т.е. D(9;2). Аналогично находятся координаты других угловых точек: О(0;0), А(0;5), В(4/5;6), С(3;6), Е(3;0).

При построении областей решений систем неравенств могут встретиться и другие случаи:

• множество решений – выпуклая многоугольная область;

• одна точка;

• п устое множество, когда систем неравенств несовместима.

Теорему 2 можно обобщить на случай трех и более переменных.

Теорема 3. Множество всех допустимых решений совместной системы m линейных уравнений с n переменными при (m < n) является выпуклым многогранником (или выпуклой многогранной областью в n-мерном пространстве).

Доказывать не будем, проиллюстрируем теорему на примере:

2 х1 + 3х2 + х3 = 12

х1 + х2 - х4 = 1

П остроить непосредственно множество решений системы уравнений с n = 4 (n >3) переменными нельзя. В данном случае (когда разность между числом переменных и уравнений n – m = 2) можно поступить так: разбить все переменные на основные, например х3 и х4 (определитель из коэффициентов при них отличен от нуля = 1 *(- 1) – 0 * 0 = -1), и неосновные (свободные) переменные х1 и х2, и вместо множества решений системы уравнений построить множество значений их неосновных переменных (это выполнить возможно, т.к. неосновных переменных всего две).

С этой целью выразим основные переменные через неосновные:

х 3 = 12 – 2х1 – 3х2

х4 = -1 + х1 + х2

Т

В(0;4)

ак как рассматриваются допустимые значения переменных, т.е. х1, х2, х3, х4 >= 0, то

1

III

2 – 2х1 – 3х2 >=0 (I)

-1 + х1 + х2 >=0 (II)

х

А(0;1)

С(6;0)

1 >=0, х2 >=0 (III, IV)

II

D(1;0)

Решением полученной таким образом системы неравенств являются точки четырехугольника ABCD с четырьмя угловыми точками А(0;1), В(0;4), С(6;0), D(1;0).

В данном примере графические построения проведены не в пространстве всех переменных, а в плоскости двух неосновных переменных х1 и х2. Но так как любой паре неосновных переменных х1 и х2 соответствуют определенные значения основных переменных х3 и х4, а следовательно одно и только одно решение данной системы уравнений, то каждой точке построенного четырехугольника ABCD соответствует одна и только одна точка множества допустимых решений системы , представляющего в данном случае выпуклый многогранник в четырехмерном пространстве.

Утверждение. Между допустимыми базисными решениями и угловыми точками множества допустимых решений системы линейных уравнений существует взаимооднозначное соответствие.

Не будем доказывать, опять ограничимся примером.

Для системы, приведенной выше можно получить четыре допустимых базисных решения. Группы основных переменных могут быть любые, т.к. все определители не равны 0:

х1 и х2 (х3, х4 = 0) – недопустимое (т.к. х1 = -9, х2 = 10),

х1 и х3 (х2, х4 = 0) – допустимое Х1 = (1;0;10;0),

х1 и х4 (х2, х3 = 0) – допустимое Х2 = (6;0;0;5),

х2 и х3 (х1, х4 = 0) – допустимое Х3 = (0;1;9;0),

х2 и х4 (х1, х3 = 0) – допустимое Х4 = (0;4;0;3),

х3 и х4 (х1, х2 = 0) – недопустимое (т.к. х3 = 12, х4 = -1).

Из рисунка, иллюстрирующего решение, видно, что этим допустимым базисным решениям соответствуют угловые точки D(1;0), С(6;0), А(0;1) и В(0;4) четырехугольника ABCD.