Критические границы и допустимые изменения ресурса

Рассмотрим пример:

Для производства двух видов изделий А и В используется четыре различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в количестве, соответственно не большем 18, 16, 5 и 21 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице.

Вид сырья	Нормы затрат сырья (кг) на единицу продукции
	А	В
I II III IV	1 2 0 3	3 1 1 0
Цена единицы продукции (руб.)	2	3

Определить план выпуска продукции, при котором обеспечивается ее максимальная стоимость, и провести анализ чувствительности.

ЭММ (решали задачу симплекс-методом):

F = 2x1 + 3х2  max при ограничениях:

х1 + 3х2 <= 18

2х1 + х2 <= 16

х2 <= 5

3x1 <= 21

х1, х2 >= 0

симплекс-методом получили на последнем шаге:

F= 24 – 4/5х3 – 3/5х4 при оптимальном БР Х* =(6; 4; 0; 0; 1; 3).

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочное отношение
		Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х1	6	1	0	-1/5	3/5	0	0
Х5	1	0	0	-2/5	1/5	1	0
Х2	4	0	1	2/5	-1/5	0	0
Х6	3	0	0	3/5	-9/5	0	1
F	24	0	0	4/5	3/5	0	0

В этом примере связанными являются ограничения по I и II видам сырья. Эти два вида сырья используются полностью. Остальные - избыточны (остаток по III виду сырья – 1 кг, по IV – 3 кг.

Есть смысл докупать только сырье I вида, если рыночная цена на него ниже 0,8 руб. за единицу (т.к. прирост целевой функции будет равен 0,8 руб.), и сырье II вида, если рыночная цена на него ниже 0,6 руб. за единицу (т.к. прирост целевой функции будет равен 0,6 руб.).

Важно определить до скольких единиц имеет смысл закупать первые два вида сырья.

Предположим, что запасы I вида сырья изменились на Δb₁. Тогда затраты на ресурсы в соответствии с целевой функцией ДЗ будут равны:

Z =(18+ Δb₁) y1 + 16y2 +5y3 + 21y4.

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочное отношение
		Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6
Y1	4/5	1	0	2/5	-3/5	1/5	-2/5
Y2	3/5	0	1	-1/5	9/5	-3/5	1/5
Z	24	0	0	1	3	6	4

Заменяем переменные у1 и у2 их выражениями через неосновные переменные оптимального БР:

у1= 4/5 – 2/5 у3 + 3/5 у4 – 1/5 у5 + 2/5 у6

у2= 3/5 + 1/5 у3 – 9/5 у4 + 3/5 у5 – 1/5 у6, подставляем в целевую функцию:

Z =(18+ Δb₁) (4/5 – 2/5 у3 + 3/5 у4 – 1/5 у5 + 2/5 у6) + 16 (3/5 + 1/5 у3 – 9/5 у4 + 3/5 у5 – 1/5 у6) +5y3 + 21y4 = = (24 + 4/5 Δb₁) + (1 – 2/5 Δb₁ ) у3 + (3 + 3/5 Δb₁) у4 + (6 – 1/5 Δb₁) у5 + (4 + 2/5 Δb₁) у6.

Д

(Слайд 12)

ля того, чтобы оценки ресурсов оставались неизменными и при изменении запасов сырья, т.е. сохранилось оптимальное решение ДЗ

Y* =(4/5; 3/5; 0; 0; 0; 0), достаточно, чтобы коэффициенты при неосновных переменных в последнем выражении оставались неотрицательными, т.е.

1 – 2/5 Δb1 >= 0 3 + 3/5 Δb1 >= 0 6 – 1/5 Δb1 >= 0 4 + 2/5 Δb1 >= 0

и

Δb1 <= 2,5 Δb1 >= -5 Δb1 <= 30 Δb1 >= -10

Откуда:

–5 <= Δb₁ <= 2,5

18 -5 <= b₁ + Δb₁ <= 18 + 2,5 или 13 <= b₁ + Δb₁ <= 20,5 ,

т.е . при неизменности теневых цен (или оценок ресурсов) запас I вида сырья может изменяться в пределах от 13 до 20,5 единиц.

Аналогично можно высчитать пределы изменения по запасам II вида сырья, который может меняться от 11 до 17, 67 единиц.

Можно определить графическим способом.

Посмотрим на график, который строили при решении задачи графическим способом.

С

I

F=24

Е

F=26

F=20

F

Если в нашем примере постепенно увеличивать запас I вида сырья, то оптимальный план будет смещаться, оставаясь на пересечении границ по I и II видам сырья. Так будет продолжаться до тех пор, пока он не дойдет до точки Е – точки пересечения границ по II и III видам сырья. В точке Е пересекутся три границы: по I, II и III видам сырья.

Этот момент является критическим. Дальнейшее увеличение запаса I вида сырья приведет к избыточности данного ресурса. Он станет несвязанным, его теневая цена будет равна 0. Связанным станет III вид сырья. Таким образом, в наборе связанных ресурсов, после прохождения критического положения границы, один ресурс будет заменен другим, два этих ресурса изменят свой статус.

 Расчет критической границы по I виду сырья можно провести следующим образом. Сначала определим координаты точки пересечения границ по II и III видам сырья. Для этого следует решить соответствующую систему уравнений

2 х1 + х2 = 16

х2 = 5

В результате получим:

x₁ = 5,5 x₂ = 5.

Подставим эти значения в левую часть неравенства, определяющего ограничение по I виду сырья:

х1 + 3х2 = 5,5 + 3´5 = 20,5.

Полученная величина 20,5 и является верхней критической границей по I ресурсу. Таким образом, исходный объем I вида сырья, равный 18 кг, можно увеличить на 2,5 кг без изменения статуса ограничений и без изменения теневой цены ресурса. Величина 2,5 кг в этом примере является допустимым увеличением этого вида сырья.

Нижняя критическая граница и, соответственно, допустимое уменьшение вычисляются аналогично. В нашем примере при уменьшении объема I вида сырья оптимальный план будет смещаться налево-вниз. Критическим будет такая величина объема ресурса, при которой линия I вида сырья пройдет через точку пересечения F границ по II и IV видам сырья.

При дальнейшем уменьшении доступного объема I вида сырья произойдет изменение статуса некоторых ограничений. Именно, связанными ресурсами станут I и IV виды сырья, а II вид сырья станет несвязанным, и его теневая цена будет равна 0.

Для вычисления координат точки F решим соответствующую систему уравнений:

2 х1 + х2 = 16

3x1 = 21

В результате получим

x1 = 7 x2 = 2.

Подставим эти значения в левую часть неравенства, определяющего ограничение по I виду сырья:

х1 + 3х2 = 7 + 3´2 = 13.

Величина 13 есть нижняя критическая граница ресурса. Допустимое уменьшение данного ресурса определяется разностью 18 – 13 = 5.

Таким образом, при изменении доступного объема I вида сырья теневые цены и статус ресурсов сохраняются, если его объем остается между вычисленными критическими границами. При переходе через одну из границ, происходит изменение статуса и теневых цен ресурсов.

Аналогично могут быть определены критические границы по остальным ограничениям. Для избыточных ресурсов (их теневая цена равна 0) верхней границы не существует, такой ресурс при любом увеличении объема остается избыточным.

Напомним, что координатные оси являются граничными прямыми ограничений x1 ³ 0, x2 ³ 0. Таким образом, в некоторых ситуациях прохождение через критическую границу может привести к тому, что производство одного из продуктов прекратится (оптимальное значение одной из переменных x1, x2 станет равным 0), или возобновится (оптимальное значение одной из переменных x1, x2 станет больше 0).

Критические границы ресурсов соответствуют границам устойчивости статуса ограничений при изменении их правых частей.

Если запасы первых двух видов сырья будут меняться одновременно, то исследование теневых цен (оценок) усложняется.