Кинетическая энергия материального тела в различных видах движения

Материальное тело есть совокупность отдельных материальных точек. Кинетическая энергия тела, совершающего поступательное движение равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс:

.

Центром масс системы называется точка С, координаты которой находятся по формулам:

, , . (8.8)

Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью  (рис. 8.2). При вращении тела абсолютная величина скорости любой точки тела равна , тогда кинетическая энергия равна:

.

Величина, равная сумме произведений массы каждой точки на квадрат расстояния от оси вращения, называется моментом инерции I_z тела относительно оси z. I_z – мера инерции тела во вращательном движении:

. (8.9)

Осевой момент инерции можно представить в виде:

, (8.10)

где _z – радиус инерции тела относительно оси Оz, М – масса тела.

Теорема Кенига. Кинетическая энергия тела, совершающего плоскопараллельное движение, равна сумме кинетических энергий поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс:

. (8.11)

М омент инерции I_z твердого тела относительно какой-либо оси z равен моменту инерции I_с этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной оси z, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями d

. (8.12)

Моменты инерции некоторых простых однородных тел

1. Окружность. Вычислим момент инерции материальной окружности радиуса R и массы М относительно ее центра О (рис. 8.3). Для этого разобьем всю окружность на бесконечно малые элементы массой m. Все элементы находятся от точки О на одном расстоянии R, поэтому искомый момент равен:

. (8.13)

2 . Тонкий диск. Момент инерции диска радиуса R и массы М относительно его центра О (рис. 8.4) вычислим следующим образом. Разобьем диск концентрическими окружностями на элементарные плоские кольца радиуса r, шириной - r. Массу кольца обозначим m. Искомый момент инерции равен сумме всех моментов инерции элементарных колец:

.

Обозначим поверхностную плотность через , тогда

.

Площадь элементарного кольца представим в виде:

,

тогда

.

. (8.14)

3. Круглый цилиндр радиуса R, массой М. Разобьем весь цилиндр на тонкие диски. Момент инерции диска

,

где m – масса диска.

Искомый момент инерции цилиндра равен сумме моментов инерции всех дисков

. (8.15)

4. Шар. Вычислим момент инерции шара массой М и радиусом R относительно его центра. Обозначим плотность, приходящуюся на единицу объема .

,

где V – объем шара.

,

тогда

.

Разобьем шар концентрическими сферами на бесконечно тонкие сферические слои радиуса r и толщиной r. Так как все частицы слоя находятся на одинаковом расстоянии от центра О, то момент инерции слоя равен

.

Объем сферы равен:

,

масса сферы:

,

тогда момент инерции шара равен:

.

Подставляя значение , получим:

. (8.16)