6. Формула Бейеса (Байеса)

Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H₁, H₂, ..., H_n, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло).

7. Формула Бернулли

Пусть проводятся независимые испытания (такие, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний). Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно k раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна

В формуле Бернулли используется число сочетаний. Повторюсь, что для реализации схемы Бернулли необходимы два условия: 1) независимость проводимых испытаний; 2) p = const (постоянное значение вероятности появления события) Распределение вероятностей в схеме Бернулли - биномиальное. Наивероятнейшее число появления события (мода) при n испытаниях заключено в пределах np-q ≤ Mo ≤ np+p,

8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

В схеме Бернулли (см. предыдущий пункт) распределение вероятностей - биномиальное. При большом количестве проводимых испытаний биномиальное распределение приближается к нормальному с параметрами a = np, σ = √(npq). На этом факте и основано применение приближённых формул Лапласа. Условия применения формул - схема Бернулли (проводимые испытания независимы, вероятность наступления события в каждом испытании постоянна). Тогда вероятность того, что при n испытаниях интересующее нас событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближённо равна

Чем больше n, тем ближе значение вероятности к точному. Значения функции можно вычислить с помощью инженерного калькулятора. Если есть под рукой таблица значений функции плотности стандартного нормального распределения 1/√2π·e^(-x2/2), то сначала вычисляем величину x = (k-np)/√npq, а потом смотрим нужное значение. Можно также воспользоваться функцией Excel =НОРМРАСП(k;np; √npq;0)

Пример 8.1

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Показать решение

Если же при прежних условиях требуется найти вероятность того, что событие наступит не менее k₁ и не более k₂ раз, то используется интегральная формула Лапласа.

- функция Лапласа. Значения функции Лапласа можно взять из таблицы. Можно также воспользоваться программой Excel. Функция =НОРМСТРАСП() позволяет вычислить интегральную функцию нормального распеделения F(X). Взаимосвязь между интегральной функцией и функцией Лапласа: Ф(X) = F(X) - 0,5. Поэтому для вычисления функции Лапласа в ячейку забиваем формулу =НОРМСТРАСП(число) - 0,5 Функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-X) = -Ф(X). Это к сведению для тех, кто будет пользоваться таблицей значений функции Лапласа (там, как правило, отсутствуют отрицательные значения аргумента).