- •Методическое пособие по элементарной математике
- •Составители:
- •§1 Множества.
- •§2 Числовая ось
- •§3 Модуль действительного числа
- •§4 Степени и корни
- •§5 Функции и их свойства
- •§ 6 Линейные преобразования графика функций
- •§7 Обзор элементарных функций
- •§8 Многочлены
- •§9 Корни алгебраического уравнения
- •§10 Рациональные неравенства
- •§11 Прогрессии
§5 Функции и их свойства
Определение: если каждому из множества , поставлено в соответствие по известному закону единственный элемент из множества , то говорят, что на множестве задана функция .
- область определения функции, а - область значений функции .
- аргумент (независимое переменное);
- функция (зависимая переменная).
Пример. 1) .
2) .
Способы задания функции.
Аналитическое задание (задание формулой ).
явное задание: .
неявное задание: уравнение задает функцию при определенном условии, например , тогда .
Графическое задание
Говорят, что функция задана графически, если закон соответствия между и задан с помощью чертежа. Как правило это кривая .
Табличное задание.
Свойства функции.
Ф ункция называется четной, если для любого верно равенство . График четной функции симметричен относительно оси .
Пример. .
Ф ункция называется нечетной, если для любого верно равенство . График четной функции симметричен начала координат.
Пример.
Функция называется периодической, если существует , что для любого выполняется равенство ; - наименьшее положительное значение называется периодом .
Пример. Функция - периодические с периодами соответственно.
Если функция периодическая с периодом , то функция имеет период .
Из определения периодичности функции следует, что - вся числовая ось. Для построения графика периодической функции 1) достаточно построить график на отрезке длины равной периоду; 2) с последующим сдвигом его на любое число периодов влево или вправо.
§ 6 Линейные преобразования графика функций
Задан график .
График функции получен из графика отражением относительно оси .
График функции получен из графика отражением относительно оси .
. График этой функции получается из графика сдвигом его на единиц вдоль оси : вверх при , вниз при .
. График функции надо сдвинуть на единиц вдоль оси вправо при , влево при .
. Для построения этого графика , надо график функции «сжать» в раз вдоль оси при или «растянуть» в вдоль оси при .
. - исходный график «сжать» в раз вдоль оси при или «растянуть» вдоль оси в раз при .
. Исходный график сдвинуть влево на , «сжать» в раз, если , или «растянуть» в раз, если вдоль оси , дальше «растянуть» в раз вдоль оси , если или «сжать» в , если и наконец сдвинуть график вдоль оси на единиц вверх.
Пример. Построить график
Исходный график 1) ; 2) сдвиг по оси на 1 вправо; 3) «растянуть» по оси в два раза; 4) сдвиг по оси на 2 единицы вниз.