Формула симпсона

На отрезке [x₀;x₀+2h] дугу кривой Y=f(x) заменяют дугой квадратичной параболы, проходящей через точки A(x₀;f(x₀)), B(x₀+h;f(x₀+h)), C(x₀+2h;f(x₀+2h)), т.е. производят квадратичное интерполирование функции Y=f(x). Тогда за приближенное значение площади криволинейной трапеции принимают площадь параболической трапеции, которая имеет то же основание [x₀;x₀+2h] и ограничена сверху дугой параболы. Для того, чтобы составить уравнение этой параболы, воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона. Составим многочлен второй степени по трем узлам интерполяции: х₀, x_l=x₀+h, x₂=x₀+2h. Получим

.

Преобразуем это выражение. Так как x_l = х₀+h, то

Площадь параболической трапеции

Обозначим Y₀=Y_н - ордината начала отрезка; Y₂=Y_к - ордината конца отрезка; Y_l=Y_cp - ордината середины отрезка, то полученная формула примет вид

(2.7)

где x_к-x_н=2h

Рис. 2.4.

Разделим теперь отрезок [а;b] на n равных частей, причем считаем, что n - число четное, т.е. n=2m,

.

Пусть х₀=а; х₁=х_о+h, ... , х_n=b - точки деления. Проведем ординаты в этих точках Y₀=f(x₀), Y_l=f(x_l), ... , Y_n=f(x_n). Соединим концы каждых трех соседних ординат дугами параболы, т.е. заменим на отрезках [х₀;х₂], [х₂;х₄], ... , [х_n-2;х_n] кривую дугами парабол. Применим к каждому из этих отрезков формулу (2.7).

Тогда

Приведя подобные члены, получим

(2.8)

Эта формула называется формулой Симпсона.

Сходимость квадратурных формул. Оценка погрешности по

ПРАВИЛУ РУНГЕ.

Формулы прямоугольников и трапеций являются интегральной суммой для функции f(x),. если отрезок [a;b] разбить на частичные отрезки. Формула Симпсона является линейной комбинацией формул прямоугольников и трапеций:

где J₁, J₂, J₃ – приближенные значения интеграла , полученные соответственно по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона. Следовательно, для любой непрерывной на [a;b] функции f(x) приближенные значения интеграла, полученные по этим формулам, стремятся к точному решению при .

Из теории приближенных методов вычислений известна оценка абсолютных погрешностей формул прямоугольников, трапеций и Симпсона :

(2.9)

(2.10)

где , f(x) – подынтегральная функция, [a,b] – отрезок интегрирования, h - шаг интегрирования .

(2.11)

где .

Оценки погрешностей указанных квадратурных формул позволяют сделать вывод: для достаточно гладкой функции f(x) более точной является квадратурная формула Симпсона. Для недостаточно гладкой функции целесообразнее применять самую простую квадратурную формулу, требующую минимального объема вычислений.

Оценка погрешности по приведенным формулам (2.9)-(2.11) оказывается малоэффективной из-за трудностей, связанных с оценкой производных подынтегральной функции f(x). Поэтому на практике часто пользуются при оценке погрешности приемом, предложенным Рунге.

Обозначим J точное значение интеграла , а через S(h) - его приближенное значение, вычисленное по одной из квадратурных формул с шагом h, через S(2h) - приближенное значение интеграла, вычисленное по той же формуле с шагом 2h. Остаточный член каждой квадратичной формулы с шагом h и 2h можно записать соответственно в виде

,

где k - порядок точности формулы: M - произведение постоянной на производную .

Вычислим приближенное значение интеграла по одной и той же квадратурной формуле сначала с шагом 2h, а затем с шагом h. Получим

.

Вычтем эти равенства

.

Получим оценку погрешности по методу Рунге

(2.12)

Учитывая порядок точности квадратурных формул, получим приближенную оценку погрешности по методу Рунге для формул прямоугольников и трапеций (k=2)

(2.13)

и по формуле Симпсона (k=4)

(2.14)

РЕАЛИЗАЦИЯ В EXCEL МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Рассмотрим решение методами прямоугольников и трапеций для функции Y=x². Шаг интегрирования 0,1 и нижний предел интегрирования, равный 0, занесены в клетки В1 и В2. Ниже в столбце А формируется номер шага, а в столбце В – очередное значение независимой переменной Х. В столбце С вычисляется текущее значение подынтегральной переменной Y(x), в столбцах D и Е накапливаются результаты интегрирования.

При необходимости расширить диапазон интегрирования следует скопировать вниз последнюю строку таблицы до достижения желаемого значения верхнего предела интегрирования. Шаг интегрирования может быть изменен непосредственно в ячейке В1.

Таким образом, процесс вычисления численного значения интеграла по формулам прямоугольника или трапеции можно разделить на следующие этапы:

1. Ввод или импортирование данных.

2. Ввод формул для вычисления площади одного прямоугольника или трапеции.

3. Копирование формулы во все остальные интервалы (следует обратить внимание, что количество интервалов может не совпадать с количеством точек данных).

4. Вычисление суммы площадей отдельных фигур разбиения.

Формульное представление фрагмента таблицы имеет следующий вид:

	A	B	C	D	E
1	H=	0,1
2	Xn=	0
3	Шаг	Х	Y(x)	прямоуг.	Трапеций
4	1	0,00	=B4^2	0	0
5	=A4+1	=B4+B$1	=B5^2	=D4+C4*B$1	=E4+(C4+C5)*B$1/2
6	=A5+1	=B5+B$1	=B6^2	=D5+C5*B$1	=E5+(C5+C6)*B$1/2

	A	B	C	D	E
1	h=	0,1
2	Xn=	0		Метод:
3	Шаг	Х	Y(x)	прямоуг.	Трапеций
4	1	0	0	0	0
5	2	0,1	0,01	0	0,0005
6	3	0,2	0,04	0,001	0,003
7	4	0,3	0,09	0,005	0,0095
8	5	0,4	0,16	0,014	0,022
9	6	0,5	0,25	0,03	0,0425
10	7	0,6	0,36	0,055	0,073
11	8	0,7	0,49	0,091	0,1155
12	9	0,8	0,64	0,14	0,172
13	10	0,9	0,81	0,204	0,2445
14	11	1	1	0,285	0,335

Реализация метода Симпсона несколько сложнее, потому что на каждом шаге интегрирования используется два интервала данных. В этом случае следует различать интервал (расстояние между точками данных) и шаг интегрирования (в методе Симпсона он равен двум интервалам). Шаг интегрирования в методе Симпсона состоит из двух последовательных интервалов между данными. Именно из-за этой особенности метод Симпсона применим только для четного количества интервалов (или нечетного количества точек). Поэтапное описание метода Симпсона имеет следующий вид:

1. Введите или импортируйте данные.

2. Вычислите расстояние между двумя точками данных по оси x, которое можно обозначить через h (для всех пар точек это расстояние должно быть одинаковым).

3. Введите формулу, по которой вычисляется площадь на одном шаге интегрирования (не на интервале данных).

4. Скопируйте эту формулу в ячейки, соответствующие остальным шагам интегрирования. Чтобы выполнить этот процесс быстро, скопируйте формулу в буфер обмена Windows. Затем выберите ячейку, после чего удерживая клавишу <Ctrl>, последовательно щелкните на нужных ячейках. В программе Excel с помощью клавиши <Ctrl> можно выбрать несколько несмежных интервалов. После того как выбраны все ячейки, в которые нужно скопировать формулу, вставьте ее из буфера обмена.

5. Сложите площади отдельных элементов фигуры.

Метод Симпсона довольно прост в применении и хорошо подходит для большинства функций, однако он имеет два ограничения:

• количество точек данных должно быть нечетным.

• точки должны быть расположены на одинаковом расстоянии по оси абсцисс.

	A	B	C	D
1	МЕТОД СИМПСОНА
2		h:	0,1
3	x	y	шаг	S
4	0	0	1	0,002667
5	0,1	0,01	1
6	0,2	0,04	2	0,018667
7	0,3	0,09	2
8	0,4	0,16	3	0,050667
9	0,5	0,25	3
10	0,6	0,36	4	0,098667
11	0,7	0,49	4
12	0,8	0,64	5	0,162667
13	0,9	0,81	5
14	1	1
15
16			Сумма:	0,333333

Метод трапеций обладает намного меньшей точностью, однако он очень прост и не имеет упомянутых выше ограничений. Иногда метод Симпсона используется и в том случае, когда количество точек четно; причем данный метод применяется ко всем интервалам, кроме последнего, а площадь последнего элемента приближенно вычисляется по формуле трапеции.