- •Типовой расчет “функции нескольких переменных” Основные понятия
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные функции
- •Экстремумы функции
- •Контрольные варианты к задаче 2.
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области d
- •Контрольные варианты к задаче 3.
- •Элементы скалярного поля
- •Контрольные варианты к задаче 4.
Контрольные варианты к задаче 3.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1. |
в треугольнике со сторонами . |
2. |
в треугольнике со сторонами . |
3. |
в замкнутой области, ограниченной и осью . |
4. |
в треугольнике со сторонами . |
5. |
в треугольнике со сторонами |
6. |
в замкнутой области, ограниченной и осью . |
7. |
в квадрате |
8. |
в квадрате |
9. |
в замкнутой области, ограниченной линиями и |
10. |
в области, ограниченной прямыми |
11. |
в области, ограниченной прямыми |
12. |
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
|
13. |
в треугольнике со сторонами |
14. |
в треугольнике со сторонами |
15. |
в треугольнике со сторонами |
16. |
в квадрате, ограниченном прямыми |
17. |
в треугольнике со сторонами . |
18. |
в треугольнике со сторонами . |
19. |
в замкнутой области, ограниченной и осью . |
20. |
в треугольнике со сторонами . |
21. |
в треугольнике со сторонами |
22. |
в замкнутой области, ограниченной и осью . |
23. |
в квадрате |
24. |
в квадрате |
25. |
в замкнутой области, ограниченной линиями и |
26. |
в области, ограниченной прямыми |
27. |
в области, ограниченной прямыми |
28. |
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
|
29. |
в треугольнике со сторонами |
30. |
в треугольнике со сторонами |
Элементы скалярного поля
Производная скалярного поля по направлению вектора
(рис.3).
определяется
так:
– это скорость изменения скалярного
поля
в направлении вектора
.
M0
M β
α
0 у
x Рис. 3
Пример 6. Найти скорость изменения скалярного поля в точке в направлении от этой точки к точке .
Решение. Скорость изменения скалярного поля в направлении вектора в точке определяют по формуле
.
В задаче , ,
.
,
,
.
Подставим все найденные величины в первую формулу:
.
Ответ: В заданном направлении данное скалярное поле убывает со скоростью .
Градиент скалярного поля – вектор
.
Очевидно,
(рис.
7).
Рис. 7
Пример 7. Найти величину градиента скалярного поля в точке .
Решение.
.
.
Ответ: .
Задача 4. Найти производную функции в точке в направлении от этой точки к точке .
Решение. Напишем формулу производной функции по направлению вектора .
, где - орт направления вектора .
Сначала найдем вектор , в направлении которого будем искать производную. = . Найдем длину . . Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами орта , поэтому .
Теперь найдем частные производные функции .
Все найденные значения подставляем в формулу производной по направлению.
Вывод. Функция убывает по направлению вектора , так как полученная производная меньше нуля.
Ответ: