- •Глава 6 числовые бесконечные ряды
- •§1. Определения. Примеры.
- •§2. Общие свойства числовых бесконечных рядов
- •§3. Числовые Ряды с положительными членами
- •§4. ДостаточныЕ признакИ сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
- •4.1 Признаки, основанные на сравнении двух рядов
- •4.2. Признак Даламбера
- •4.3. Признак Коши
- •4.4. Интегральный признак сходимости или расходимости ряда
- •§5. Числовые Ряды с произвольными членами
- •5.1. Достаточный признак сходимости рядов с произвольными членами. Абсолютно сходящиеся ряды
- •5.2. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •5.3. Свойства сходящихся рядов с произвольными членами
- •Упражнения
§3. Числовые Ряды с положительными членами
Для того, чтобы применить какой-нибудь ряд для решения практического вопроса, нужно, прежде всего, доказать, что он сходящийся. Проще всего сходимость или расходимость может быть установлена для рядов с членами одного знака. Далее будет доказано, что исследование сходимости рядов с членами различных знаков (положительными или отрицательными) чаще всего может быть сведено к исследованию сходимости другого ряда, но с членами одного знака. По этой причине, прежде всего, нужно исследовать сходимость и расходимость рядов с членами одного знака. Для определенности будем рассматривать ряд с положительными членами. Поскольку ряд с отрицательными членами сводится к положительному ряду путем умножения отрицательного ряда на число –1, что согласно теореме 3, §2, не влияет на сходимость ряда.
Будем обозначать через положительные числа, а ряд с положительными членами будет записывать в виде
. (6.26)
Из рассмотрения усеченных сумм ряда (6.26): , , ,…, …. Можно заключить, что последовательность усеченных сумм ряда с положительными членами – возрастающая: . Поэтому здесь возможны два и только два следующих случая:
1) последовательность неограниченна сверху и тогда, а это означает, что ряд (6.26) собственно расходится;
2) последовательность ограничена сверху и в таком случае она, будучи возрастающей и ограниченной, имеет конечный предел и поэтому ряд (6.26) сходится.
Этими двумя случаями исчерпываются всевозможные ряды с положительными членами. Отсюда можно заключить, что ряды с положительными членами не могут быть осциллирующими.
Из изложенного получается следующий необходимый и достаточный признак сходимости ряда с положительными членами: для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его усеченных сумм была ограниченной.
В последующем этот признак будет неоднократно использован при установлении других практически удобных для применения достаточных признаков сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
§4. ДостаточныЕ признакИ сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
4.1 Признаки, основанные на сравнении двух рядов
Определение. Пусть все элементы ряда с положительными членами
(6.27)
не больше соответствующих элементов второго ряда с положительными членами
(6.28)
то есть выполняются неравенства , тогда ряд (6.28) называется мажорантным рядом или мажорантой для ряда (6.27). В свою очередь (6.27) называется минорантным рядом или минорантой для ряда (6.28).
Теорема 1. Даны два ряда с положительными членами
(6.29)
(6.30)
тогда если: 1) , 2) ряд (6.30) сходится и имеет сумму , то сходится и ряд (6.29).
Эту теорему можно сформулировать еще и следующим образом – если мажоранта исследуемого ряда сходится, то и исследуемый ряд сходится.
Доказательство. Введем обозначения усеченных сумм ряда (6.29) и (6.30)
Согласно условию 2) теоремы 1, имеем . Отсюда, так как последовательность стремится к пределу , возрастая, заключаем, что при любых натуральных n выполнено неравенство
(6.31)
Далее, складывая неравенства условия 1) теоремы 1, получаем
и на основании введенных обозначений, а также (6.31), имеем при любых натуральных n. Следовательно, последовательность ограничена, а это означает, что ряд (6.29) сходится. Теорема доказана.
Теорема 2. Даны два ряда с положительными членами
(6.32)
(6.33)
тогда если 1) , 2) ряд (6.33) расходится, то ряд (6.32) расходится.
Другими словами если миноранта исследуемого ряда расходится, то и исследуемый ряд расходится.
Доказательство. Обозначим усеченные суммы ряда (6.32) и (6.33)
По условию 2) теоремы 2 − . Вследствие условия 1) теоремы 2 имеет место неравенство , а это означает, что и . Следовательно, ряд (6.32) расходится. Теорема доказана.
Последние две теоремы можно высказать в более общей форме. Эти обобщения даны в следующих двух теоремах.
Теорема 3. Даны два ряда с положительными членами
(6.34)
(6.35)
тогда если: 1) все члены ряда (6.34), начиная с некоторого v, не больше соответствующих членов ряда (6.35), то есть, при всех n > v, выполнено неравенство
, (6.36)
2) ряд (6.35) сходится, то сходится и ряд (6.34).
Доказательство. Отбрасывая в рядах (6.34) и (6.35) первые v членов, которые не удовлетворяют неравенству (6.36), получим следующие два ряда.
(6.37)
(6.38)
Сходимость ряда (6.35) распространяется по теореме 4 (гл.6, §2) на ряд (6.38), так как последний ряд получается из ряда (6.35) отбрасыванием конечного числа начальных членов .
Сходящийся ряд (6.38) является мажорантой для ряда (6.37), а потому по теореме 1 ряд (6.37) также сходится. Но, приписав в начале ряда (6.37) конечное число членов , получим ряд (6.34), который сходится по только что упомянутой теореме 4 (гл.6, §2). Теорема доказана.
Теорема 4. Даны два ряда с положительными членами
(6.39)
(6.40)
тогда, если: 1) все члены ряда (6.39), начиная с некоторого v, не меньше
соответствующих членов ряда (6.40), то есть при всех n > v, выполнено неравенство ,
ряд (6.40) расходится, то расходится и ряд (6.39).
Доказательство. Отбрасывая в рядах (6.39) и (6.40) первые v членов получаем еще два ряда
(6.41)
(6.42)
Расходимость ряда (6.40) распространяется по теореме 4 (гл.6, §2) на ряд (6.42), так как этот ряд получается из (6.40) отбрасыванием конечного числа начальных членов . Значит ряд (6.42) расходится и является (по условию 1)) минорантой ряда (6.41), а тогда по теореме 2 (гл.6, §4, п.4.1) ряд (6.56) расходится. Но ряд (6.39) получается из ряда (6.41), если в начале последнего ряда приписать члены , а потому по теореме 4 (гл.6, §2) ряд (6.39) расходится. Теорема доказана.
В следующих двух теоремах признаки сходимости и расходимости, основанные на сравнении двух рядов, даны в форме предельных равенств. Заметим, что в форме предельных равенств эти признаки является весьма удобными для применений.
Теорема 5. Если ряды с положительными членами
, (6.43)
. (6.44)
таковы, что: 1) существует конечный предел
, (6.45)
ряд (6.44) сходится, то тогда сходится и ряд (6.43).
Доказательство. Предельное равенство (6.45) означает, что по теореме 2 (гл.1, §5, п.5.2) последовательность ограничена. Следовательно, можно
указать такое число M > 0, что все элементы последовательности удовлетворяют неравенству . Умножая это неравенство на , получим
. (6.46)
После этого сравним между собой три ряда: (6.43), (6.44) и ряд
. (6.47)
Так как ряд (6.44) сходится, то по теореме 3 (гл. 6, §2) сходится и ряд (6.47). Но в силу неравенства (6.46) сходящейся ряд (6.47) является мажорантой для ряда (6.43). Следовательно, для рядов (6.43) и (6.47) выполнены все условия теоремы 1 (гл.6, §4, п.4.1) и потому ряд (6.43) сходится. Теорема доказана.
Теорема 6. Если ряды с положительными членами
, (6.48)
(6.49)
таковы что: 1) существует положительный предел (конечный или бесконечный)
, (6.50)
2) ряд (6.49) расходится, то тогда расходится также и ряд (6.48).
Доказательство. В начале рассмотрим случай, когда число конечное . Тогда, согласно определению предела последовательности, для любого положительного числа можно указать такое натуральное число v, что при всех n > v выполнено неравенство . Полагая здесь приходим к неравенству . Отсюда, умножая на , имеем (при всех n > v).
Теперь сравним между собой три ряда: (6.48), (6.49) и ряд
. (6.51)
В согласии с дополнительным замечанием к теореме 3 (гл.6, §2); из расходимости ряда (6.49) следует расходимость ряда (6.51). Тогда ряды (6.48) и (6.51) удовлетворяют условиям теоремы 4 (гл.6, §4, п.4.1) и потому ряд (6.48) расходится.
Теперь обратимся к случаю, когда . Предельное равенство означает, что каким бы ни было положительное число λ, всегда можно указать такое натуральное число v, что при всех n > v выполнено неравенство и, умножая это неравенство на , получим при всех n > v. Далее доказательство, точно такое же, как и для случая конечного . Теорема доказана.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие признаки сравнения.
Пример 1. Исследовать ряд
. (6.52)
Сравним этот ряд со сходящимся рядом (пример 1, гл.6, §1)
.
В соответствии с теоремой 5 (гл.6,§4, п.4.1) здесь
тогда
Так как , значит ряд (6.52) сходится.
Пример 2. Исследовать ряд
. (6.53)
Сравниваем ряд (6.53) с гармоническим (расходящимся) рядом и применяем теорему 6 (гл.6, §4, п.4.1). Здесь и потому
а потому ряд (6.53) расходится.