Теоремы муавра – лапласа

Теоремы Лапласа представляют собой другой случай приближения биномиального распределения. Они дают удовлетворительное приближение при значениях p, близких к 0,5. Формулы аппроксимируют значения биномиального распределения нормальным (гауссовым) распределением:

Локальная теорема Муавра – Лапласа

Рассмотрим другой случай приближения биномиального распределения:

Здесь – функция Гаусса, табулированная и нормированная (эти два свойства так же объединяют термином «стандартизированная»). Её значения можно как найти с помощью таблиц значений, так и непосредственно посчитав с помощью компьютера (например, с помощью САПР Mathcad) или даже вручную. – чётная функция: .

Локальная формула применяется для вычислений значений в точке (ровно m успехов).

Интегральная теорема Муавра – Лапласа

где – стандартизированная функция Лапласа. Её значения уже нельзя найти вручную, поскольку интеграл не вычисляется аналитически, а только численно. – нечётная функция: .

Интегральная формула применяется для вычислений значений на интервале.

Общие критерии применимости

Сформулируем общие критерии выбора типа приближения в данном случае.

• Если n мало, то следует считать по формуле Бернулли, так как в этом случае оба приближения будут неточными, а вычисление не представляет значительных сложностей.

• Если 0,1 < p < 0,9 и npq > 9, то целесообразно пользоваться формулами Муавра – Лапласа.

• Если p > 0,1 или p > 0,9, npq ≤ 9, то следует пользоваться формулой Пуассона.

• В остальных случаях приходится выбирать. В случае интервала, как правило, предпочитают интегральную формулу Муавра – Лапласа ввиду того, что не нужно вычислять сумму ряда, как в случае формулы Пуассона. При очень больших n оба приближения дают удовлетворительные результаты.

Отклонение относительной частоты от вероятности в схеме Бернулли

Может потребоваться найти не только саму вероятность P, но и границу симметричного интервала ε, в который заключена частота с наперёд заданной вероятностью. В этом случае потребуется найти , то есть при заданном y найти такое x, что . Число успехов m будет принадлежать следующему интервалу:

Одномерные случайные величины Функция распределения

Функция распределения (ФР) случайной величины (СВ) ξ – это функция, характеризующая распределение СВ (скаляра в одномерном случае и вектора – в многомерном): . Далее для простоты примем .

Свойства ФР:

1. ;

2. монотонное неубывание: ;

3. непрерывность слева: ;

4. 

5. существует взаимно-однозначное соответствие между распределением СВ и её ФР.

Замечания

• ФР или непрерывна в точке, или содержит разрыв первого рода.

• В зарубежной литературе встречается другое определение ФР: . Это ничего не изменит в наших рассуждениях, кроме очевидного изменения в свойствах, так как в этом случае ФР станет непрерывной справа.

Дискретные одномерные св

В дискретном одномерном случае . График функции представляет собой набор ступенек, в общем случае разной длины и разной высоты.

9