Примеры
Найти коэффициент прохождения электрона с энергией Е из металла в вакуум под действием внешнего электрического поля напряженностью E.
При образовании кристаллической решетки простого металла валентные электроны отрываются от атомов, становятся свободными и при низкой температуре имеют полную энергию , где – энергия Ферми. При низкой температуре длина свободного пробега электрона ~ межатомных расстояний (~1 см). На границе металл–вакуум на электрон действуют возвращающие силы со стороны нескомпенсированных положительных ионов решетки и электронного облака, окружающего металл. Объем металла для электрона является потенциальной ямой с работой выхода . Тепловая энергия активизирует электроны вблизи уровня Ферми и основная масса электронов не может покинуть металл. Если электрическое поле E направить к металлу, то график потенциальной энергии наклоняется. Ширина потенциального барьера становится конечной и происходит туннельный эффект, называемый холодная или автоэлектронная эмиссия электронов. Явление обнаружил Роберт Вуд в 1897 г., исследовали Ральф Фаулер и Лотар Нордгейм в 1928 г.
Однородное поле E создает при распределение потенциала и потенциальной энергии электрона
, .
Протяженность барьера на уровне Ферми находим из , ,
.
Из (3.73)
получаем
,
.
Заменяем , находим , тогда
, (П.4.1)
где эффективное задерживающее поле
.
Автоэлектронная эмиссия дает плотность тока до 1010 А/см2, используется в электронных микроскопах, рентгеновских трубках, приемниках инфракрасного излучения.
Найти коэффициенты отражения и прохождения через барьер частицы с .
Из (3.2)
,
при и получаем падающую, отраженную и проходящую волны
, , .
, ,
Граничные условия (3.11) и (3.12) при дают
, ,
откуда
, , (П.4.2)
,
.
При происходит полное отражение .
Замена преобразует рисунок к виду
при этом
, . (П.4.3)
Функции R(E) и T(E) не изменяются – обращение движения частицы через барьер не изменяет коэффициентов отражения и прохождения.
Амплитуду прохождения t через систему локальных барьеров 1 и 2, показанную на рис. 3.17, выразить через амплитуды прохождения , и отражения , каждого из барьеров по отдельности. Между барьерами расстояние a, волновое число частицы k. При распространении волн сохраняется фазовая когерентность.
Рис. 3.17. Система барьеров
Для одиночных барьеров используем соотношения между падающими , отраженными и проходящими волнами
, , , .
Для системы барьеров
.
Учитывая отражение волны от барьера 1 с амплитудой , а также изменение фаз волн на пути между барьерами, находим
,
откуда
,
,
тогда
. (П.4.4)