Уровни Ландау

Состояния заряда в однородном магнитном поле получил Л.Д. Ландау в 1930 г.

Гамильтониан (5.40)

.

В декартовых координатах для поля , с учетом , в частности , используем

,

тогда

. (5.46)

Уравнение Шредингера получает вид

.

Операторы и коммутируют с , тогда решение содержит произведение собственных функций и

,

.

Если движение по оси z не ограниченное, то – любое вещественное число. Подстановка решения в уравнение и деление его слева на ψ дает уравнение для

,

где – циклотронная частота (1.23). Эффективная потенциальная энергия

соответствует потенциальной энергии гармонического осциллятора (3.23), колеблющегося около точки:

(5.47)

с частотой и с амплитудой (3.40) нулевых колебаний , где – магнитная длина. Из (3.32) получаем

,

Уровни Ландау. Спектр энергии движения в плоскости совпадает со спектром гармонического осциллятора. Из (3.39) находим

. (5.48)

Число состояний на уровне Ландау. Состояние зависит от положения центра циклотронного движения , энергия (5.48) не зависит от , поэтому уровень Ландау вырожден. Для движения в области , условие на центр (5.47) ограничивает импульс интервалом . Пространственное ограничение по оси y вызывает квантование . Граничное условие Борна–Кармана (3.8) требует

,

, ,

где N – целое число. Допустимые значения импульса имеют шаг . Учитывая степень вырождения σ состояний по спину и (1.32) , находим кратность вырождения уровня n

. (5.52)

Число состояний на уровне Ландау пропорционально числу квантов магнитного потока, приходящихся на область, доступную для движения заряда.

Эффект Ааронова–Бома

Магнитное и электрическое поля выражаются через потенциалы

, .

В классической электродинамике векторный потенциал , не зависящий от времени, и скалярный потенциал , не зависящий от координат, не действуют на заряд. Д. Бом и Я. Ааронов показали в 1959 г., что фаза волновой функции изменяется под действием скалярного и векторного потенциалов, даже в том случае, когда нет силового действия поля на частицу. Эффект Аронова–Бома подтвержден интерференционными экспериментами и свидетельствует о нелокальности квантового состояния.

Магнитный эффект. Пусть заряд q движется перпендикулярно магнитному полю В по замкнутой траектории. Полуклассическое квантование (1.22) , с учетом дает

, (5.53)

где – магнитный поток через поверхность, ограниченную траекторией Изменение фазы при прохождении частицей траектории n без магнитного поля

.

Вклад магнитного поля в фазу при движении по замкнутой траектории

. (5.54)

Для незамкнутой траектории между точками r₀ и r поток обобщается , тогда

. (5.55)

Векторный потенциал изменяет фазу волновой функции.

Осцилляции сопротивления проводящего кольца при изменении магнитного потока исследовали Ю.В. и Д.Ю. Шарвины в 1981 г. Кольцо из магния диаметром (1,52) мкм при температуре ~ 1К обеспечивает длину когерентности электронов, превышающую размер кольца. На платиновые контакты А и В подается напряжение. Через кольцо проходит магнитный поток Ф. Электронная волна разделяется на контакте А, идет по путям 1 и 2, набирая фазы φ₁ и φ₂, и интерферирует на контакте В с разностью фаз . Учитывая, что при обращении движения набираемая фаза меняет знак, из (5.54) получаем

.

Изменение магнитного потока меняет разность фаз. Максимум интерференции , где , соответствует максимуму тока между контактами. В результате, при изменении магнитного поля сопротивление между контактами осциллирует с периодом

.

Если через кольцо одновременно переносится заряд , то период осцилляций равен .

Электрический эффект. Фаза волновой функции частицы с постоянной полной энергией изменяется пропорционально времени . Заряд q, движущийся в течение времени τ в электрическое поле с потенциалом , за счет потенциальной энергии набирает дополнительную фазу

. (5.57)

В эксперименте электрон в виде волнового пакета испускается в т. A, проходит через отверстия экрана 1 и 2 и движется внутри проводящих цилиндров, экранирующих электрическое поле . За время движения электрона внутри цилиндров внешнее поле включается, поддерживается постоянным и отключается. На всех этапах движения силовое воздействие на электрон отсутствует. Согласно (5.57) на путях 1 и 2 набирается разность фаз , где – разность потенциалов цилиндров. Максимальный интерференционный ток в цепи соответствует , где , тогда . Следовательно, при изменении разности потенциалов ток I и сопротивление цепи осциллируют с периодом

. (5.58)

Эффект Зеемана состоит в расщеплении уровней энергии атома в магнитном поле. Явление обнаружил Питер Зееман в 1896 г.

Для электрона в слабом однородном магнитном поле из (5.40) получаем

,

где ; – гамильтониан взаимодействия электрона в атоме; отброшено малое слагаемое, пропорциональное . Используем калибровку векторного потенциала

,

, , ,

тогда

, ,

,

где – оператор орбитального момента; . В результате

,

где – гамильтониан электрона в атоме без учета магнитного поля; – магнетон Бора. Для состояния с определенной проекцией орбитального момента стационарное уравнение Шредингера

.

Учитывая , находим энергию состояния

, (П.7.16)

где Е₀ – энергия без учета магнитного поля.

Результат получается и в квазиклассическом приближении. Магнитный момент орбитального движения электрона (1.37) , помещенный в магнитное поле , получает дополнительную энергию .

140