Предисловие

В учебных планах подготовки дипломированных специалистов по специальности 220100 – «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» и направлению 552800 – «Информатика и вычислительная техника» дисциплины «Дискретная математика», «Введение в информатику и вычислительную технику», «Алгоритмические языки и программирование» входят в состав фундаментального цикла дисциплин, формирующих у студентов представление о базовых понятиях информатики и вычислительной техники как о предмете их дальнейшей профессиональной деятельности. Изучение указанных дисциплин и овладение навыками разработки и моделирования алгоритмов реализации арифметических и логических компьютерных операций, синтеза логических схем создает теоретическую базу для изложения таких дисциплин, как «Теория автоматов», «Организация ЭВМ и систем», «Микропроцессорные системы» и других специальных курсов.

В главах 1, 2, 3, подготовленных профессором В.И. Потаповым, изложены основы двоичной и десятичной компьютерной арифметики, алгоритмы выполнения арифметических операций в ЭВМ для двоичных чисел с фиксированной и плавающей запятой (точкой) и для двоично-десятичных чисел в D-кодах. Рассмотрены многочисленные методы ускоренного выполнения арифметических операций в ЭВМ в двоичной и в двоично-десятичной системе счисления.

Глава 4, подготовленная доцентом о.П. Шафеевой, посвящена вопросам разработки алгоритмических моделей выполнения арифметических операций и моделирования на пэвм спроектированных алгоритмов.

В главе 5, подготовленной доцентом И.В. Червенчуком, рассматриваются фундаментальные вопросы математической логики и задачи синтеза комбинационных схем на логических элементах, а также свойства булевых функций и вопросы их минимизации известными в инженерной практике методами.

Учебное пособие иллюстрировано многочисленными примерами и содержит вопросы для самоконтроля.

1. Основы двоичной компьютерной арифметики

0. 1.1. Позиционные системы счисления

В современных ЭВМ общего назначения для представления обрабатываемой числовой информации, как правило, используются позиционные системы счисления.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

Позиционной системой счисления называют такую систему, в которой значение (вес) каждой цифры, образующей число, зависит от ее позиции (местоположения) в числе. То есть одна и та же цифра в зависимости от ее местоположения в числе умножается на различный весовой коэффициент для определения ее истинного значения.

Основанием системы счисления называется количество различных цифр, применяемых в соответствующей позиционной системе счисления, необходимых для изображения любого числа в этой системе.

Так, например, основанием двоичной позиционной системы является число 2, восьмеричной – число 8, десятичной – 10, шестнадцатеричной – 16 и т.д.

Пусть является основанием -ичной позиционной системы счисления. В такой системе используется различных цифр, представляющих последовательные целые числа, начиная с нуля и кончая числом, равным . Любые числа записываются в виде последовательности цифр, в которых целая часть отделена от дробной части запятой (точкой) и каждая последующая (справа налево) цифра имеет весовой коэффициент в раз больше, чем предыдущая.

Если буквами обозначить цифры -ичной позиционной системы счисления, то последовательность цифр

обозначает число

.

Обычно во всех позиционных системах счисления в качестве двух младших цифр используют знаки 0 и 1. При этом основание системы счисления записывается в виде последовательности цифр 10.

Для того, чтобы выполнять произвольные вычислительные операции в любой позиционной системе счисления, необходимо кроме введенных выше понятий уметь пользоваться элементарными арифметическими операциями (сложение, вычитание, умножение и деление) в данной системе счисления.

Основываясь на приведенных определениях, рассмотрим наиболее часто используемые в компьютерной технике и в вычислительной практике позиционные системы счисления: двоичную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную. При этом начнем рассмотрение с хорошо всем известной десятичной системы счисления.