4. Деление матриц:

Деление матриц - действие над матрицами, которое в этом понятии не встретишь в учебниках. Но если есть необходимость разделить матрицу А на матрицу В, то в этом случае используют одно из свойств степеней:

Согласно этому свойству разделим матрицу А на матрицу В:

В результате задача о делении матриц сводиться к умножению обратной матрицы матрице В на матрицу А.

Обратная матрица есть только у невырожденной матрицы, т.е. у той матрицы, определитель которой не равен нулю. У вырожденной матрицы (определитель=0) обратной матрицы не существует.

Матрица обратная данной - это матрица, при умножении на которую данной в результате получается единичная матрица.

Условие обратной матрицы

Итак, если матрица получилась вырожденной, то на этом заканчиваем, т.к. решить обратную матрицу невозможно.

В противном случае, приступим к заполнению обратной матрицы. Для этого надо найти дополнения. Их количество всегда равно числу элементов матрицы. Если матрица третьего порядка, значит у нее 9 элементов, у каждого свое дополнение и все эти дополнения надо искать.

Покажу на примере схемы, как найти дополнение элемента, стоящего в первой строке второго столбца, значит элементы, стоящие в первой строке и втором столбце надо вычеркнуть. Оставшиеся элементы (их 4) - записываем в новый определитель, умноженный на (-1) в степени (1+2), где 1 и 2 -номера строки и столбца.

После нахождения всех дополнений составляем обратную матрицу, она представляет собой транспонированную матрицу к той, которая составлена из полученных дополнений, деленная на определитель исходной матрицы. Вот почему важно, чтобы матрица была невырожденной (на нуль ведь делить нельзя).

Рассмотрим на примере нахождение обратной матрицы:

Пусть дана матрица В:

Найдем ее определитель:

Определитель равен 232, это не ноль, значит матрица невырожденная и для нее можно найти обратную матрицу.

Для этого найдем 9 дополнений:

Дополнение для элемента, стоящего в первой строке первого столбца:

Дополнение для элемента, стоящего в первой строке второго столбца:

Дополнение для элемента, стоящего в первой строке третьего столбца:

Теперь определим следующие три дополнения для второй строки:

И последние три для третьей строки:

Теперь составим обратную матрицу:

Матрица обратная данной найдена.

Чаще всего нахождение ранга матрицы вызывает сложности, хотя решение данной задачи почти ни чем не отличается от предыдущих. Давайте разберемся - вам надо найти ранг матрицы. Во - первых, ранг матрицы - это какое то число. Во-вторых, максимум оно может быть равно минимальному числу из количества строк или столбцов матрицы, т.е. если матрица имеет размер 4х5, то максимум ранг будет 4. В- третьих, минимум ранг матрицы равен 1, если только вы не имеете дело с нулевой матрицей, там всегда ранг равен нулю.

Как же найти это число, называемое ранг матрицы?

Для начала найдем минор матрицы некоторого элемента. Минор некоторого элемента матрицы - это определитель той матрицы, которая получается путем вычеркивания строки и столбца из исходной матрицы, в которых стоит некоторый элемент.

Не путайте с алгебраическим дополнением матрицы! Как видно на схеме, минор - это всего лишь определитель на порядок меньше исходного определителя, а дополнение - это полученный определитель, домноженный еще на (-1) в степени суммы номера строки и столбца, вычеркнутых в исходной матрице. Так вот нам надо искать миноры, именно они позволяют найти ранг матрицы.

Порядок первого минора определяется следующим образом:

1. посчитайте количество строк и столбцов в данной матрице;

2. выберите минимальное из этих двух чисел ( в случае если они разные);

3. отнимите единицу от получившегося числа.

Теперь у вас есть значение, которое показывает, сколько в миноре должно быть строк и столбцов. Миноров этого порядка может быть несколько. Надо ли их искать все? Все будет зависеть от того, чему будут равны эти миноры. Если мино получился, равный нулю, то надо искать другой минор этого порядка, пока не найдете, отличный от нуля. Возможны два случая:

1. Вы нашли минор, не равный нулю - значит ранг матрицы найден. Ранг - это порядок этого минора. Если в миноре было 2 строки и два столбца, значит ранг матрицы равен 2.

2. Вы перебрали все миноры данного порядка и все они равны нулю - значит уменьшаем порядок на единицу и повторяем процесс, пока не найдем определитель, не равный нулю.

Ранг матрицы принято обозначать: r, r(A), rang A.

Давайте на примере рассмотрим как найти ранг матрицы. Я предложу вариант, когда количество строк и столбцов разные:

Пусть дана матрица B размера 3х4:

Найдем ее ранг. Начнем искать миноры с порядка 3, т.к. строк в матрице три, а столбцов четыре, минимальное этих чисел - 3.

В матрице В всего четыре минора порядка 3, их можно получить путем вычеркивания:

• первого столбца:

• второго столбца:

• третьего столбца:

• четвертого столбца:

Все миноры равны нулю. Если есть сложности с их расчетами, то прочитайте статью Определитель матрицы.

Итак, мы перебрали все миноры третьего порядка и все они равны нулю – значит уменьшаем порядок на единицу и повторяем процесс, пока не найдем определитель, не равный нулю.

Миноры второго порядка:

Т.к. при нахождении миноров третьего порядка мы вычеркивали ноль строк и один столбец, то при нахождении миноров второго порядка, увеличив на единицу количество вычеркиваемых строк и столбцов, получим одну строку и два столбца, которые требуется вычеркнуть.

Уже первый минор, который мы получили путем вычеркивания третьей строки и третьего и четвертого столбцов, получился равен 4. а значит он отличен от нуля.

Значит на этом процесс заканчивается и ранг матрицы равен 2, т.к. последний минор, который мы искали второго порядка,

т.е. rang B=2