2.6. Задачи и вопросы для практической работы

Задача 1.

Построить область допустимых решений задачи, заданной с помощью следующих условий:

Найти максимум и минимум линейной функции на множестве решений задачи с областью решений б) и в). Какая точка множества D с описанием в) максимизирует функцию f(x) = х₁х₂? Как изменится это решение, если в ограничении равенство превратить в неравенство типа « »?

Задача 2. Дана задача квадратичного программирования

,

где симметричная матрица, А - (nхm) - матрица полного ранга, квадратичная форма отрицательно определена. Сформулировать ответы на следующие вопросы.

а) Построить функцию Лагранжа и найти условия оптимальности решений.

б) Найти выражение для х* в зависимости от параметров c, b, A и Н. Убедиться в том, что х* - глобальное решение задачи;

в) убедиться в том, что параметры чувствительности ¶x^*/¶c и ¶x^*/¶b меняются линейно. Какова форма зависимости параметров чувствительности ¶f^*/¶c и ¶f^*/¶b ?.

Задача 3. Исследовать решение задачи

(D, f): f(x) = ,

в которой Н- симметрическая (n х n) - матрица. Пусть - решение этой задачи. Показать что величина f(x*) равна наибольшему собственному числу матрицы Н, т.е. , где отвечает уравнению (задаче на собственный вектор) . Исследовать решение при следующих данных: . Собственные числа этой матрицы удовлетворяют уравнению .

Задача 4. В регрессионном анализе применяется метод наименьших квадратов для аппроксимации существующей связи между целевой переменной У и независимыми факторами х₁, ..., х_n с помощью результатов наблюдений (y_j, x_1j,…, x_nj), j = 1, …, N, причем, исследуемая (или предполагаемая) модель представляется в виде или в матричной форме . Подлежащие оцениванию параметры находятся из задачи

Показать, что решением этой задачи является так называемые МНК- оценки где Х – Nх(n+1) - -матрица результатов наблюдений, вектор значений целевой переменной. Убедиться в том, что значение b является единственным, которое минимизирует целевую функцию E( . Найти выражение для b, когда результатами наблюдений являются: Y = (3.5, 4.8)^T, x₁ = (-1, -2)^T, а исследуемая зависимость линейна, т.е. .

Задача 5. Решить задачу и исследовать условия теоремы Куна – Таккера:

.

Построить графическое решение задачи. Найти точку безусловного максимума функции f(x). Как изменится решение задачи, если рассмотреть лишь одно из двух ограничений типа неравенства?

Задача 6. Исследовать параметрическую задачу

,

где a, b, c- фиксированные параметры. Найти решение задачи для следующих данных: а = 0, b = c = 1 и иллюстрировать его графически. Получить условие теоремы Куна - Таккера и найти значения параметров, при которых решение существует.

Задача 7. Решить задачу со смешанными ограничениями

.

Как изменится решение задачи, если второе ограничение превратить в ? Построить и исследовать условия теоремы Куна - Таккера для обоих случаев. Исследовать влияние условий на оптимальное решение задачи.

Задача 8. В задаче потребительского выбора функция полезности видов благ q₁ и q₂ задана в виде аддитивной функции u(q₁, q₂) = 400 - (q₁-12)² - (q₂ - 16)², а бюджетное ограничение имеет вид . Найти оптимальные объемы и , которые максимизируют функцию полезности. Исследовать влияние цен p₁ и p₂ на оптимальное решение этой задачи.

Величины q₁¶u/¶q₁ и q₂¶u/¶q₂ характеризуют локальные эффекты для благ q₁ и q₂ и равны соответственно

q₁¶u/¶q₁ = h₁u(q₁, q₂), q₂¶u/¶q₂ = h₂u(q₁, q₂),

где h₁ и h₂ – так называемые эластичности (или относительные чувствительности) функции полезности по отношению к величинам благ q₁ и q₂. Найти наибольшее значение величин h₁u(q₁, q₂) и h₂u(q₁, q₂) и сравнить полученные результаты с оптимальным решением задачи

h₁u(q₁, q₂) + h₂u(q₁, q₂) .

u = 300

Убедиться в том, что для различных уровней функции полезности u = const (кривые безразличия) решения задачи лежат на прямой линии, которая соединяет начало координат с точкой (12, 16)^Т. Дать этим построениям геометрическую интерпретацию

Задача 9. Производственный план фирмы предполагает определение интенсивностей производства двух товаров, которые удовлетворяют ресурсному ограничению и находятся на минимальном расстоянии от точки с координатами (200, 150)^Т. Исследовать влияние цен р₁ и р₂ и объема ресурса b на искомое решение задачи.

Задача 10. Решить задачу

Исследовать решение задачи, когда предпоследнее ограничение имеет вид . Дать этим решениям графическую интерпретацию.

76