3.3. Метрические и векторные пространства

Метрическое пространство. Множество Х называется метрическим пространством, если на декартовом произведении ХХ = Х² определена вещественная функция d(x, y), называемая метрикой, такая, что для всех имеют место условия

а) (условие неотрицательности);

б) d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;

в) d(x,y) = d(y,x) (условие симметричности);

г) d(x, z) ≤ d(x, z) + d(z, y) (условие треугольника).

Величина называется расстоянием между точками х и у из Х. Для п – мерного евклидова пространства Е^п функция расстояния определяется в виде

d(x, y) = ,

где символом х - у обозначена норма вектора, равного разности векторов х и у (так называемая евклидова норма). Благодаря определению на Е^п нормы, это пространство называется также нормированным с евклидовой нормой ..

ε - Окрестность. ε – окрестностью точки х метрического пространства Х с метрикой (функцией расстояния) d(x, y) называется множество, определяемое в виде

N_ε(x) = { / d(x,y) < ε},

где ε – некоторое положительное число. Множество N_ε(x) определено как открытое множество.

Внутренняя точка. Точка подмножества Х метрического пространства У называется внутренней точкой Х, если существует ε – окрестность этой точки, содержащая только точки из Х, т.е. N_ε(x)  Х для некоторого ε > 0. Обозначая множество всех внутренних точек множество Х через intХ, можно написать, что intХ  Х. Открытое множество совпадает с множеством своих внутренних точек, другими словами, все его точки являются внутренними.

Граничная точка. Точка х называется граничной точкой некоторого подмножества Х метрического пространства У, если любая ε – окрестность х содержит хотя бы одну точку из Х и хотя бы одну точку, не принадлежащую Х, то есть

N_ε(x)  Х  , N_ε(x)  У \ Х  

при любом ε > 0.

Множество всех граничных точек множества Х называется границей множества Х и обозначается через В(Х). Объединение Х и В(Х) называется замыканием Х и обозначается через С(Х). Замкнутое множество равно своему замыканию, другими словами, Х содержит все свои граничные точки В(Х).

Ограниченное множество. Подмножество Х метрического пространства У называется ограниченным, если расстояние между любыми двумя точками из Х является конечным числом. В противном случае Х называется неограниченным (по расстоянию).

Последовательность точек метрического пространства Х обозначается символом {x_j}, j = 1, 2, …

Сходимость. Последовательность {x_j} сходится к х₀ тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется целое число N, такое, что если i > N, то d(x_i, x₀) < ε. Точка х₀ называется пределом последовательности {x_j}, что записывается в виде х₀ = limx_i при i  .

Компактность. Множеств Х метрического пространства У называется компактным, если в любой последовательности точек из Х существует некоторая подпоследовательность, сходящаяся к точке, принадлежащей Х (свойство Больцано – Вейерштрасса). Множество является компактным тогда, и только тогда, когда в любом семействе открытых множеств, объединение которых содержит Х, существует некоторое конечное подмножество открытых множеств, объединение которых также содержит Х (свойство Гейне - Бореля). Если Х является подмножеством Е^п, то Х компактно тогда, и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Непрерывность в точке. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если выполняется условие Lim f(x)= f(x₀ ) при x  x₀. Функция непрерывна, если она непрерывна во всех точках своего определения.

Полунепрерывность сверху. Вещественная функция f(x) называется полунепрерывной сверху в точке x₀, если для любого ε > 0 существует такое  > 0, что если 0  d(x, x₀)  , то f(x)  f(x₀) + ε. Она называется полунепрерывной снизу в точке x₀, если из тех же условий следует, что f(x₀) - ε  f(x). Из этих определений следует, что вещественная функция f(x) непрерывна в точке x₀ тогда, и только тогда, когда она полунепрерывна сверху и снизу в точке x₀. Для того чтобы функция f(x) была полунепрерывна сверху, необходимо и достаточно, чтобы множество {x / f(x)  a}, было открытым при любом а.

Неподвижная точка. Точка х является неподвижной точкой функции f(x), если имеет место равенство f(x) = х. Существование неподвижной точки устанавливается известной теоремой Брауэра о неподвижной точке: если Х – непустое замкнутое и ограниченное (компактное) выпуклое подмножество (выпуклый компакт) пространства Е^п, а f(x) – непрерывная функция, отображающая Х в себя, то существует хотя бы одна точка х^*  Х, которая отображается сама в себя, то есть f(x^*) = х^*.

Векторное пространство. Векторное пространство V – это множество точек, называемых

векторами, для которых определены две операции: сложение векторов и умножение вектора на скаляр.

Сложение векторов является операцией, которая каждой паре векторов (х, у) из V² ставит в соответствие некоторый вектор х + у множества V, называемой суммой х и у. Для операции сложения справедливы следующие условия: x + y = y + x; x + (y + z) = (x + y) + z ; x + 0 = x ; x + (-x) = 0.

Умножение вектора на скаляр является операцией, которая каждой точке (а, х) из Е  V ставит в соответствие некоторую точку ах из V, называемую произведением. Для операции умножения справедливы следующие условия: а(х + у) = ах + ау; (а + в)х = ах + вх; (ав)х = а(вх); 1х = х для любых х, у из V и любых а, в из Е (или Е¹).

Линейная независимость. Векторы х₁, х₂, …, х_п из векторного пространства V называются линейно независимыми, если из уравнения а₁ х₁ + а₂ х₂ + … + а_п х_п = 0 следует, что а₁ = а₂ = … = а_п = 0. Другими словами, линейная комбинация векторов а₁ х₁ + а₂ х₂ + … + а_п х_п равна нулю лишь тогда, когда все коэффициенты равны нулю. В противном случае эти векторы называются линейно зависимыми. Если векторы х₁, х₂, …, х_п линейно зависимы, один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.

Весьма важно для приложений, что если векторы х₁, х₂, …, х_п линейно независимы, и любой другой вектор х из V может быть представлен в виде линейной комбинации этих п векторов, т.е. х = а₁ х₁ + а₂ х₂ + … + а_п х_п , то векторы х₁, х₂, …, х_п являются базисом этого пространства V, а его размерность равна п. Аналогом служит пространство Е^п с размерностью п и одним из его базисов в виде единичных векторов e₁ = (1, 0, …0)^Т, е₂ = (0, 1, 0, …,0)^Т, …, е_п = (0, 0,…,1)^Т.

Подпространство. Подмножество Х некоторого пространства называется подпространством, если оно замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения на скаляр, так что если векторы х и у принадлежат Х, то векторы х+ у и ах также принадлежат Х. Максимальное число линейно независимых векторов, которое может входить в это подпространство, называется размерностью подпространства. Например, размерность плоскости как подпространства, проходящей через начало координат Е³, равна двум.

Нормированное пространство. Векторное пространство Х называется нормированным, если для каждого вектора существует вещественное число , называемое нормой вектора x, такое, что и тогда, и только тогда, когда х = 0, кроме того, , . Пространство Е^п является нормированным векторным пространством с нормой х . Нормированное векторное пространство является метрическим, так как расстояние между двумя векторами х и у можно определить по формуле .