Механика жидкостей и газов

Давление. Единицы измерения давления: паскаль, мм рт. ст.

Закон Паскаля. Гидравлический пресс. Давление жидкости на дно и стенки сосуда. Сообщающиеся сосуды.

Атмосферное давление. Опыт Торричелли. Изменение атмосферного давления с высотой.

Закон Архимеда. Плавание тел.

Движение жидкостей. Уравнение Бернулли.

В механике действие силы зависит не только от величины и направления самой силы, но и от площади поверхности, на которую действует сила.

При взаимодействии жидкости или газа с твердым телом силы давления приложены не в одной точке, а распределены по всей площади соприкосновения твердого тела и жидкости (или газа).

Для того, чтобы охарактеризовать распределение сил давления независимо от размеров поверхности, на которую они действуют, введем понятие давление.

Давлением на данном участке поверхности называют отношение величины силы , оказывающей давление на данном участке к площади этого участка .

Очевидно, что давление по величине равно силе, приходящейся на участок поверхности единичной площади. В СИ давление измеряют в паскалях.

1ПА=1

Если внешняя сила оказывает давление на твердое тело, то это давление передается внутрь твердого тела по направлению действия силы. Совсем иначе передают давление жидкости и газы.

Рассмотрим следующий эксперимент. В закрытом сосуде находится вода. В крышку вставлены три одинаковые по диаметру трубки, нижние отверстия которых находятся в воде на одинаковой глубине, но направлены в разные стороны, а также трубка с резиновым баллоном. Накачиваем в сосуд воздух, тем самым увеличивая внешнее давление. При этом во всех трех трубках вода поднимается до одинаковой высоты, следовательно давление, оказываемое на жидкость или газ внешними поверхностными силами, передается во все стороны одинаково. В этом и состоит закон Паскаля. Выведем закон Паскаля.

Поместим жидкость в замкнутый сосуд присоединенный к цилиндру с поршнем Р. Вдвигая поршень, создадим внутри жидкости давление, обусловленное поверхностными силами. При установившемся давлении жидкость покоится. Покажем, что давления в точках А и В равны между собой. Мысленно выделим внутри жидкости тонкий цилиндр осью которого служит линия АВ и основания которого, имеющие площади S, перпендикулярны к оси. Выделенный объем составляет часть покоящейся жидкости, следовательно и сам находится в покое, хотя на его поверхность действуют силы давления. Другие силы на наш цилиндр не действуют (силой тяжести пренебрегаем как малой по сравнению с силами давления). Силы давления действующие на боковую поверхность цилиндра, перпендикулярны к оси АВ, они взаимно уравновешивают друг друга, а их проекции на ось АВ равны нулю, следовательно, они не влияют на движение в направлении АВ. Силы, действующие на основания цилиндра, перпендикулярны к площадям основания, направлены противоположно друг другу вдоль оси АВ и численно равны (иначе жидкость бы не покоилась). или , где – давления в точках. А и В. Сокращая

на S , имеем .

Эти рассуждения можно повторить для любых двух точек, например для С и D. Если две точки нельзя соединить прямой, например A и D, то доказательство ведется последовательно для ряда промежуточных точек: , = , = , а значит .

Манометры - это приборы для измерения давления. Различаю жидкостные и механические манометры. Примером жидкостного манометра могут служить манометрические трубки из опыта, подтверждающего закон Паскаля. Чем больше давление, тем выше уровень воды в трубке.

Простейший механический манометр устроен следующим образом: тонкая упругая металлическая пластина 1 – мембрана – герметически закрывает пустую коробку 2 .

К мембране присоединен указатель 3, вращающийся вокруг оси 0. При погружении прибора в жидкость мембрана прогибается под действием сил давления и ее прогиб передается в увеличенном виде указателю, передвигающегося по шкале. Каждому положению указателя соответствует определенный прогиб мембраны, т.е. определенная сила давления на мембрану. Зная площадь мембраны, можно от силы давления перейти к самому давлению, соответственно проградуировав шкалу. Жидкостные манометры точнее.

На каждую молекулу воды действуют сила тяжести, следовательно каждый слой воды оказывает давление на ниже лежащие слои силой своего веса, причем по закону Паскаля это давление распространяется во все стороны одинаково. Очевидно, что чем глубже мы погружаемся, тем больше вес жидкости находящейся над нами, тем большее давление мы испытываем. Это давление, оказываем весом жидкости, называют гидростатическим давлением.

Формула гидростатического давления

Гидростатическое давление можно определить с помощью прибора, называемого гидростатическими весами Паскаля (рис. 49). В подставке П, сквозь которую проходит кольцевой патрубок К, можно поочередно герметично закреплять сосуды С любой формы, не имеющие дна. Подвижным дном этих сосудов служит подвешенная на коромысле равноплечих весов плоская круглая площадка Д, расположенная вблизи нижнего отверстия патрубка К. Эта площадка прижимается к торцу патрубка силой, вызываемой тем, что на чашку весов, подвешенную на другом их коромысле, ставится гиря Г. К подставке П прикреплена линейка Л, по которой определяют высоту h жидкости в сосуде, закрепленном на подставке.

Опыт производят так. На под-ставке укрепляют сосуд, имеющий форму прямого кругового цилиндра. В него наливают воду до тех пор, пока вес этой воды не станет равным весу гири, поставленной на правую чашку весов, т.е. Рж=Рг. (Поддержание этого количества воды автоматически обеспечивается самим прибором, так как если вес воды в сосуде превысит вес гири, дно приоткроется и излишек воды вытечет.)

В цилиндрическом сосуде вес жидкости Pж= ghS, где - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, h - высота столба жидкости, S - площадь основания цилиндра, поэтому на дно сосуда жидкость оказывает давление

р=Pж/S= gh. (5.2)

Формула (5.2) определяет значение гидростатического давления.

Теоретический вывод формулы гидростатического давления

Выделим внутри покоящейся жидкости неподвижный элемент ее объема V в виде прямого кругового цилиндра высотой h с основаниями, имеющими малую площадь S, параллельными свободной поверхности жидкости. Верхнее основание цилиндра находится от поверхности жидкости на глубине h1, а нижнее - на глубине h2>h1.

На выделенный элемент объема жидкости действуют по вертикали три силы: силы давления = S и = S ( где и - значения гидростатического давления на глубинах h1 и h2) и сила тяжести

Fт= g V = gh S.

Выделенный нами элемент объема жидкости покоится, значит, F1+F2+Fт=0, а следовательно, равна нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на вертикальную ось, т. е. S - S - gh S=0, откуда получаем

- = gh. (5.3)

Пусть теперь верхняя грань выделенного цилиндрического объема жидкости совпадает с поверхностью жидкости, т.е. h1=0. Тогда h2=h и =p, где h - глубина погружения, а р - гидростатическое давление на данной глубине. Считая, что на поверхности жидкости давление =0 (т.е. без учета внешнего давления на поверхность жидкости), из (5.3) получаем формулу для гидростатического давления р= gh, которая совпадает с формулой (5.2).

При выводе формулы гидростатического давления мы пользовались тем, что выделенные точки можно было соединить цилиндром с вертикальной осью. Рассмотрим более сложный случай.

Для сравнения давлений в точках А и М воспользуемся ломаной которая целиком лежит в жидкости и звенья которой попеременно вертикальны и горизонтальны. g , , g , .

g g g

Т.е. формула гидростатического давления имеет место даже в том случае когда перпендикуляр, проведенный из данной точке к свободной поверхности жидкости не целиком лежит в жидкости.

Для U – образной трубки g , , g , следовательно .

Из наших рассуждений следует, что распределение давления по глубине совершенно не зависит от формы сосуда, а определяется лишь высотой столба жидкости.

U – образная трубка представляет собой сообщающийся сосуд; для любых сообщающихся сосудов уровень жидкости всегда одинаков.

На принципе сообщающихся сосудов устроены водомерные трубки, поэтому принципу работают шлюзы.

Принцип действия гидравлического пресса

Гидравлический пресс представляет собой два сообщающихся сосуда цилиндрической формы и разного диаметра, в которых имеются поршни, площади которых S1 и S2 различны (S2 >> S1). Цилиндры заполнены жидким маслом (обычно трансформаторным) . Схематически устройство гидравлического пресса изображено на рис. 52 (на этом рисунке не показаны резервуар с запасом масла и система клапанов).

Без нагрузки поршни находятся на одном уровне. На поршень S1 действуют силой F1, а между поршнем S2 и верхней опорой закладывают тело, которое нужно прессовать.

Сила F1, действуя на поршень S1, создает в жидкости дополнительное давление р=F1/S1. По закону Паскаля это давление передается жидкостью по всем направлениям без изменения. Следовательно, на поршень S2 действует сила давления

F2=pS2=F1S2/S1.

Из этого равенства следует, что

F2/F1=S2/S1. (5.5)

Следовательно, силы, действующие на поршни гидравлического пресса, пропорциональны площадям этих поршней. Поэтому с помощью гидравлического пресса можно получить выигрыш в силе тем больший, чем S2 больше S1.

Гидравлический пресс широко используется в технике.

Обратим внимание, что сила гидростатического давления не зависит от формы сосуда, а зависит лишь от высоты уровня налитой жидкости.