- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Вопросы для самопроверки
1. Каким характерным признаком отличается уравнение плоскости в декартовой системе координат от уравнений других поверхностей?
2. Как располагается плоскость относительно осей координат, если в ее уравнении отсутствуют те или иные члены?
3. Как определить, по какую сторону от плоскости расположена точка?
4. Приведите формулу вычисления расстояния от точки до плоскости.
Задачи для самостоятельного решения
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;5) и перпендикулярной вектору EMBED Equation.3 .
Ответ. EMBED Equation.3 .
2. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями 2х- 3y + 6 z-14 = 0 и 4х- 6 y + 12z+21=0 .
Ответ.3,5.
3. Две грани куба лежат на плоскостях2х- 2y + z-1 = 0, 2х- 2y + z+5 = 0. Вычислить объем этого куба.
Ответ. 8 куб. ед.
4. Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей: а) х + у – z- 2 = 0; б) 3x + 5у-4z+7=0.
в) EMBED Equation.3
Ответ.
а) EMBED Equation.3 б) EMBED Equation.3
в) EMBED Equation.3
5. Определить, лежат ли точка М (1;1;-9) и начало координат по одну или по разные стороны от плоскости EMBED Equation.3
Ответ. Точка М и начало координат лежат по одну сторону от данной плоскости.
6. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки EMBED Equation.3 (2; 3; -5) на плоскость 4x-2y+5z -12=0.
Ответ. EMBED Equation.3
7. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Ответ. 4x-3y+12z-169=0.
8. Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси координат перпендикулярно к плоскости
Зх- 4y+5z-12=0.
Ответ. 5y+4z=0; 5х-3z = 0; 4x+3y=0.
9. Найти уравнение плоскости, точки которой одинаково удалены от точек Р (1; -4; 2) и Q (7; 1; —5).
Ответ. 6x+5y-7z-27 = 0.
10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (0; 2; 1) и параллельной векторам
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3
Указание. Искомая плоскость перпендикулярна к вектору EMBED Equation.DSMT4 .
Ответ. x – у + 2 = 0.
Занятие 11. Плоскость
11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
Если EMBED Equation.3 ¹ 0, то уравнение (10.1) можно записать
EMBED Equation.3 (11.1)
- уравнение плоскости в отрезках, где EMBED Equation.3 .
Эта плоскость пересекает ось EMBED Equation.3 в точке ( EMBED Equation.3 , 0, 0), EMBED Equation.3 – в точке (0, EMBED Equation.3 , 0), ось EMBED Equation.3 – в точке (0, 0, EMBED Equation.3 ). Исходя из этого, легко определить расположение плоскости относительно системы координат.
11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пусть даны три точки EMBED Equation.3 (х1, у1, z1), EMBED Equation.3 (х2, у2, z2),
EMBED Equation.3 (х3, у3, z3) не лежащие на одной прямой.
Определим уравнение плоскости (причем единственной), проходящей через эти три точки.
Так как три точки не лежат на одной прямой, то векторы
EMBED Equation.3 = (х2 – х1, у2 – у1, z2– z1), EMBED Equation.3 = (х3 – х1, у3 – у1, z3 – z1) не коллинеарны. Тогда точка EMBED Equation.3 лежит в одной плоскости с точками EMBED Equation.3 тогда и только тогда, когда векторы EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 компланарны, то есть только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю,
EMBED Equation.3 - ( 11.2 )
-это уравнение плоскости, проходящей через три точки.