Поділимо на нього чисельник, після чого одержимо

.

Розкладемо правильний дріб на суму простіших

,

де .

Для визначення перенесемо в ліву частину і одержимо

,

звідки .

,

А тоді, аналогічно

Після приведення до загального знаменника виразу в правій частині, та прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , отримаємо

Таким чином,

Відмітимо, що первісна для будь-якої раціональної функції виражається через раціональні функції, а також трансцендентні функції та , причому трансцендентні функції появляються, коли є прості дроби та типу.

Зауваження. Якщо результатом заміни в невизначеному інтегралі підінтегральна функція вже є раціональною, то кажуть, що „інтеграл раціоналізується”. Розглянемо деякі класи функцій, які можна раціоналізувати.

Функцію називають раціональною відносно , якщо над змінними проводяться дії скінчену кількість разів.

Так, функції

2. Деякі інтеграли, які раціоналізуються

За допомогою стандартних підстановок деякі типи інтегралів можна звести до інтегралів від раціональних функцій. У подальшому нагадаємо, що означає раціональну функцію від одного або кількох аргументів.

а) Інтеграл виду

раціоналізується заміною

Приклад 4.6.

б) Інтеграл виду

раціоналізується підстановкою . Раціональними від зокрема будуть

Тому інтеграл

також раціоналізується підстановкою .

Приклад 4.7.

Але функції не будуть раціональними функціями від (вже, наприклад, тому, що має період , а та ). Але вони будуть раціональними функціями від :

і при цьому , а тому інтеграл виду

раціоналізується підстановкою яку часто називають “універсальною тригонометричною підстановкою”.

Приклад 4.8.

Якщо функція така, що

,

то більш ефективною в деяких випадках є підстановка .

Приклад 4.9.

.

Можлива в цьому випадку і підстановка , тоді

.

Неважко перевірити, що первісні для та відрізняються на сталу. Дійсно

.

Якщо примінити підстановку , то інтеграл значно ускладнюється. Дійсно,

.

Оскільки , то

.

Розібраний приклад показує, що на відміну від операції диференціювання функції операція інтегрування є більш складною, але і більш захоплюючою і можна цілком перефразувати слова М. Ломоносова, що інтегрування функції "розум до ладу приводить".

3. Інтеграли від деяких ірраціональних виразів Розглянемо інтеграл виду

(4.3)

Якщо загальний знаменник раціональних чисел , то підстановка

раціоналізує інтеграл (4.3). Дійсно, як видно, раціональні функції від і

.

Зокрема,

1) якщо , тобто

,

то інтеграл раціоналізується підстановкою де загальний знаменник дробів ;

2) Якщо , тобто

, (4.4)

то інтеграл (4.4) раціоналізується підстановкою де загальний знаменник дробів ;

Приклад 4.10.

Але інтеграли виду

вже не раціоналізуються підстановкою , тому що при цьому не виражається раціональним чином через . Тут будемо робити інакше. Виділимо повний квадрат під коренем , заміною , де спеціально підібрана , приведемо квадратний корінь до одного з можливих виразів

.

Тоді

підстановкою (або ) зводиться до , який розглядався вище.