Решение типовых примеров

Пример 5.1.1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным среднеквадратическим отклонением . Вычислить I(1:2), I(2:1), J(1,2) для следующих гипотез о математическом ожидании этой величины:

H₁: m=m₁,

H₂: m=m₂.

Решение. Запишем плотности вероятности случайной величины , соответствующие каждой из гипотез:

,

.

По формуле (5.1.1) находим информацию для различения в пользу Н₁ против Н₂, содержащуюся в выборочном значении (в этой задаче удобнее использовать натуральные единицы информации):

По формуле (5.1.2) находим среднюю информацию для различения в пользу Н₁ против Н₂

Далее учтем, что при гипотезе Н₁ математическое ожидание , и получим окончательно

.

По формулам (5.1.3.) и (5.1.4) находим

.

Таким образом, средняя информация для различения гипотез Н₁ и Н₂ в данной задаче пропорциональна квадрату расстояния между математическими ожиданиями сигнала и обратно пропорциональна его дисперсии.

Пример 5.1.2. Случайная величина имеет одностороннее экспоненциальное распределение

.

Математическое ожидание m этой случайной величины может принять одно из двух значений:

H₁: m=m₁=1,

H₂: m=m₂=10.

а) Найти правило различения гипотез Н₁ и Н₂, которое при вероятности ошибки первого рода =0,01832 обеспечивает минимальную вероятность ошибки второго рода .

б) Вычислить , соответствующую найденному правилу.

в) Пользуясь неравенством (5.1.9), установить, возможно ли при проверке гипотез в данной задаче обеспечить .

Решение. а) Запишем плотности вероятности случайной величины , соответствующие каждой из гипотез:

Г рафики этих функций приведены на рис. 5.1.

По формуле (5.1.1) вычислим информацию, содержащуюся в выборочном значении y

0

В соответствии с критерием Неймана-Пирсона эту величину необходимо сравнить с порогом С и принять гипотезу Н₁, если выполняется неравенство . Отсюда область Е₁ принятия гипотезы Н₁ состоит из всех значений , удовлетворяющих неравенству

.

Правая часть этого неравенства есть постоянная, которую мы обозначили , и, следовательно, область Е₁ состоит из всех значений сигнала, для которых . Остальные значения относим к области Е₂ (см. рис. 5.1).

Вероятность ошибки первого рода

Границу необходимо выбрать так, чтобы обеспечить заданное значение отсюда

Итак, правило проверки гипотез формулируем следующим образом. Если случайная величина Y приняла в результате опыта значение считаем, что математическое ожидание этой величины В противном случае считаем, что

б) Вычислим вероятность ошибки второго рода

в) Наконец, определим, возможно ли в принципе обеспечить α=β=0,1. По формуле (5.1.2) вычисляем

Правая часть неравенства (5.1.9 а) равна

Требуемые значения α=β=0,1 не удовлетворяют уже первому из неравенств (5.1.9), следовательно, не существует правило проверки гипотез, которое обеспечивало бы такие значения вероятностей ошибок первого и второго рода.

Пример 5.1.3. В условиях примера 1.3 вычислить для гипотез:

H₁ – сообщение на входе x(t)=x₁(t);

H₂– сообщение на входе x(t)=x₂(t),

где x₁(t) и x₂(t) – известные наблюдателю функции. Найти предельное выражение для I(1:2) при условии, что верхняя граничная частота шума F_в стремится к бесконечности, а полоса сигнала x(t) остается неизменной.

Решение. Совместные плотности вероятности n отсчетов квантованного сигнала при каждой из гипотез равны (см. пример 1.3):

где , .

Случайные величины Y⁽¹⁾,…,Y⁽ⁿ⁾ независимы при каждой из гипотез, следовательно, для вычисления I(1:2) можно воспользоваться свойством аддитивности информации

,

где

В примере 5.1.1 было установлено, что

,

и окончательно получаем

Вычислим предельное значение средней информации для различения в пользу H₁ против H₂ при и

Внесем множитель под знак суммы и заметим, что ее пределом является определенный интеграл, вычисленный на интервале (0,T)

Таким образом, величина средней информации для различения двух сообщений известной формы на фоне аддитивного белого шума зависит только от интенсивности шума и от квадрата расстояния между этими двумя сообщениями (сравните с результатами примера 5.1.1).