2.6. Уравнение Бернулли - Сен Венана. Параметры заторможенного газа

Часто в инженерной практике приходится иметь дело с частными формами уравнения энергии. Например, в большинстве случаев изменение потенциальной энергии положения пренебре­жимо мало по сравнению с другими членами уравнения (2.20), поэтому членом пренебрегают. Если еще отсутст­вуют техническая работа ( ) и теплообмен с окружаю­щей средой , т.е. в случае энергетически изоли­рованного движения газа уравнение (2.20) принимает вид

(2.23)

которое в газодинамике называют уравнением Бернулли - Сен Венана. Строго говоря, оно справедливо лишь для горизонталь­ного или невесомого энергетически изолированного потока газа.

Используя выражения (1.17) и (1.18) для энтальпии, можно уравнению Бернулли-Сен Венана (2.23) придать следую­щие формы записи:

(2.24)

(2.25)

(2.26)

Уравнение Бернулли - Сен Венана позволяет ввести ряд важных понятий, так называемых параметров торможения. Если газовый поток, имевший скорость при энтальпии затормозить в условиях энергетической изоляции, т.е. сни­зить скорость до 0, то энтальпия газа повысится до макси­мального значения , определяемого, согласно (2.23),равенством

(2.27)

Величина носит название полной энтальпии движуще­гося газа.

При энергетически изолированном торможения газ прини­мает температуру Т₀ , определяемую, согласно (1.17), по формуле

(2.28)

которая называется температурой торможения. Используя (2.24), можно для вычисления получить иное выраже­ние

(2.29)

Аналогичным образом вводятся понятия давления торможения и плотность торможения , которые связаны соот­ношением, вытекающим из (2.25)

(2.30)

Давление торможения называют также полным дав­лением.

Для идеального (невязкого) газа при отсутствии энер­гообмена потока с внешней средой параметры торможения газа вдоль потока не изменяются.

В реальных условиях, т.е. для вязкого газа, а также при энергообмене потока газа с окружающей средой параметры торможения от сечения к сечению вдоль потока изменяются.

Из выражений (2.27) - (2.30) следует, что скорость потока газа может увеличиваться, но не беспредельно. Макси­мально возможную скорость газ может достичь (теоретически) при (или ). В соответствии с (2.27) - (2.30) максимальная скорость может быть выражена через параметры торможения

(2.31)

Из (2.31) следует, что увеличение максимального значения скорости может быть достигнуто только повышением температуры торможения (т.е. полного теплосодержания).

3. Число маха. Режимы течения газа

Чтобы газ из состояния покоя пришел в движение со скоростью , необходимо, согласно (2.27), израсходовать часть его энтальпии, равную

(3.1)

Разделив обе части равенства (3.1) на энтальпию га­зового потока, получим с учетом (1.17) равенство в без­размерной форме

(3.2)

над которым проведем дальнейшие преобразования. Для этого умножим и разделим левую часть равенства (3.2) на газовую постоянную R . Тогда с учетом формулы Майера ( 1.16) и выражения для показателя адиабаты ( 1.19) указанное равен­ство примет вид

(3.3)

Из курса физики известно, что в сжимаемой среде звук распространяется со скоростью, определяемой

(3.4)

Обычно распространение звука сопровождается столь не­значительным изменением состояния газа, что энтропию можно считать постоянной. Тогда воспользовавшись уравнением изоэнтропийного процесса (1.21), получим

которое для идеального газа равносильно

(3.5)

С учетом выражений (3.3), (3.4) и (3.5) равенст­во (3.2) можно представить в виде

(3.6)

т.е. интересующая нас степень преобразования полной энталь­пии движущегося газа в кинетическую энергию определяется отношением скорости потока газа к местной скорости звука. Под словом "местная" подчеркивается, что скорость звука бе­рется в конкретном сечении газового потока. В общем случае скорость звука при переходе от одного сечения потока к другому меняется в соответствии с изменениями параметров состояния газа.

Отношение скорости потока к местной скорости звука в потоке принято называть числом Маха и обозначать буквой

(3.7)

Число Маха является основным критерием подобия газовых потоков большой скорости. При одинаковых значениях числа потоки считаются подобными с газодинамической точки зрения.

Из выражения (3.6) можно получить расчетную формулу для отношения температуры торможения к температуре потока как функцию числа Маха

(3.8)

Из (3,8) видно, что число принимает максимальное значение_, равное бесконечности, при . Минимальное значение , равное 0, соответствует, согласно (3.7), случаю покоя газа ( ).

Течение газа называется дозвуковым, если скорость потока меньше скорости звука, т.е., когда .

Если , т.е. когда , течение газа назы­ваемся сверхзвуковым.

При режим течения газа называется критическим, а соответствующая ему скорость - критической. Да и все параметры потока газа, характеризующие критический режим течения, называются критическими.

Из формулы (3.8) можно получить выражение для вычисле­ния критической температуры, подставив в нее

(3.9)

Получим выражение для вычисления оптической скорости. Для этого подставим в (3.5) значение , определяе­мое, согласно (3.9),

(3.10)

Прежде чем найти выражения для критического давления и критической плотности , установим зависимости давления и плотности от параметров торможений и числа Маха. Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева (1.3), можно записать для двух состояний газа

Почленное деление этих равенств дает

(3.11)

В случае изоэнтропического процесса, согласно (1.21), имеем

отсюда следует

(3.12)

Приравнивая правые части равенств (3.11) и (3.12), получим с учетом (3.8) следующее соотношение

(3.13)

Подставляя в (3.12) выражение (3.13), имеем

(3.14)

Следует отметить, что если параметры торможения , , берутся в одном и том же сечении, что , , то формулы (3.13) и (3.14) справедливы всегда, в том числе и при неадиабатических течениях газа. Если же парамет­ры торможения берутся в одном сечении потока, а величины , , - в другом, то формулы (3.13) и (3.14) справед­ливы только для случая изоэнтропического течения газа.

Полагая в формулах (3.13) и (3.14) , получим искомые выражения для критических значений плотности и дав­ления

_(3.15)

Следует обратить внимание, что параметры и ,

характеризующие критический режим течения газа не следует смешивать с критическими температурой и давлением ( и ), являющимися физическими характеристиками газа [формулу (1.7)].

При переходе через критический режим течения газа происходят существенные качественные изменения, что является одним из наглядных примеров проявления всеобщего закона диалекти­ческого материализма - закона перехода количества в качество. Так при переходе через критический режим качественным образом изменяется соотношение между площадью сечения газового потока и его скоростью; при сверхзвуковом течении газа возникает вол­новое сопротивление, не существующее при дозвуковом течении и т.п.