3.2 Расчеты на жесткость при изгибе

Проверка жесткости балки выполняется из условия жесткости

, (3.14)

где у_max – максимальный прогиб в опасном сечении балки;

– допускаемый прогиб балки;

L – длина пролета (расстояние между опорами).

Для определения деформаций в балках (прогибов и углов поворота) применяют метод начальных параметров, общий вид уравнений которого можно представить в виде выражений:

; (3.15)

,(3.16)

где – модуль упругости первого рода для заданного материала балки;

– осевой момент поперечного сечения балки;

EI_x – выражение жесткости при изгибе;

Θ₀, у₀ – начальные угол поворота и прогиб соответственно (начальные параметры);

z – текущая координата рассматриваемого сечения;

a, b, c – расстояния от начала координат до точки приложения соответствующей нагрузки.

При расчете деформаций в уравнения метода начальных параметров включают нагрузки, действующие слева от рассматриваемого сечения, в том числе и реакции опор (заделки). Правило знаков для нагрузок, входящих в указанные уравнения, такое же, как и для определения знаков изгибающего момента. Если заданная распределенная нагрузка действует не до конца балки, то ее необходимо «компенсировать» такой же по величине и обратной по направлению компенсирующей распределенной нагрузкой начиная с того сечения, где прекратила действовать заданная нагрузка (на рисунке 3.1 она показана пунктиром).

Рисунок 3.1- Расчетная схема

В зависимости от способа закрепления крайнего левого сечения балки можно определить начальные параметры (см. таблицу 3.1).

Таблица 3.1 – Определение начальных параметров

Способ закрепления балки	Начальные параметры	Искомый начальный параметр	Условия на опорах
		нет	не рассматриваются

3.3 Пример выполнения задания

Исходные данные: схема балки с указанием численных величин нагрузок и линейных размеров, величины допускаемого нормального и касательного напряжений.

Требуется:

-подобрать поперечное сечение балки в виде двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям, если допускаемое напряжение ;

- проверить прочность выбранного двутаврового сечения по нормальным и касательным напряжениям, если допускаемое касательное напряжение ;

- построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений в опасном сечении балки;

- проверить прочность балки по третьей теории прочности в опасном сечении;

- рассчитать величины главных напряжений и определить положение главных площадок в опасной точке;

- построить эпюру прогибов для заданной балки, используя уравнение метода начальных параметров;

- проверить жесткость балки;

- дать заключение о прочности и жесткости балки.

Вычерчиваем заданную балку с указанием внешних нагрузок и линейных размеров (рисунок 3.2). Определяем опорные реакции:

;

;

;

.

Проверка: .

Рисунок 3.2 – Расчетная схема балки

Разбиваем балку на характерные участки и строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок 3.3, а, б).

1 участок: .

;

.

2 участок: .

;

Исследование на экстремум:

;

откуда ;

.

3 участок: .

;

.

Максимальное значение изгибающего момента M_max =25 кН∙м. Из условия прочности (3.2) рассчитываем величину осевого момента сопротивления поперечного сечения:

.

По ГОСТ 8239-89 выбираем сечения с близкими значениями осевых моментов сопротивления: двутавр № 18 ( ) и двутавр № 20 ( ). Проверяем прочность выбранных двутавровых сечений по нормальным напряжениям, используя условие 3.2:

.

Найдем величину перенапряжения балки:

,

что превышает допустимые 5 %. Следовательно, проверяем на прочность двутавр № 20:

-

условие прочности по нормальным напряжениям выполняется.

Рисунок 3. 3 – Расчетная схема балки и эпюры ВСФ и прогибов

Выписываем геометрические характеристики и размеры двутавра № 20: , , , , , .

Проверяем прочность выбранного двутаврового сечения по касательным напряжениям (формула (3.8)), если максимальное значение поперечной силы :

-

условие прочности по касательным напряжениям выполняется.

Для анализа напряжений в поперечном сечении при плоском поперечном изгибе в качестве опасного выбираем опорное сечение В, в котором и изгибающий момент, и поперечная сила достигают максимального значения: и Поперечное сечение двутавра разбиваем на характерные точки A, B, C, D, E, F, K и определяем действующие в них величины нормальных напряжений по формуле (3.1)

;

;

;

;

.

Обращая внимание на то, что в опасном сечении растянуты верхние волокна, строим эпюру распределения нормальных напряжений по высоте двутавра (рисунок 3.4, б).

Рисунок 3.3 – Поперечное сечение балки, эпюры нормальных и касательных напряжений

Значения касательных напряжений определяем по формуле (3.7). Выше точки А сечение отсутствует, поэтому для сечения, лежащего выше этой точки, статический момент площади сечения равен нулю . Над слоем, к которому принадлежит точка В и D, находится полка двутавра. Статический момент инерции полки двутавра:

.

Точка С делит двутавр на две половины, поэтому для нее берем статический момент площади полусечения (из сортамента) .

Определяем величину касательных напряжений с учетом того, что ширина исследуемого слоя в исследуемых точках B и F равна ширине полки двутавра , а в точках E и D - :

;

;

;

.

Строим эпюру распределения касательных напряжений (рисунок 3.4, в).

Проверяем прочность балки по третьей теории прочности в опасном сечении по формуле (3.9):

Условие прочности выполняется.

Рассчитываем величины главных напряжений и определяем положение главных площадок в опасной точке D по формулам (3.11) и (3.13), для которой и (рисунок 3.4). Экстремальные напряжения рассчитываются по:

;

;

.

Для нашего случая:

;

;

.

;

– поворот происходит по часовой стрелке.

Рисунок 4.4 – Напряженное состояние в точке

Для построения эпюры прогибов для заданной балки, используем уравнение метода начальных параметров (4.13). Так как в начале координат находится опора, то начальный прогиб (см. таблицу 4.1). Применительно к рассматриваемой балке (см. рисунок 3.3, а) уравнение прогибов имеет вид:

;

Составляем уравнение прогибов для опоры В (z=4 м). Так как прогиб в ней должен отсутствовать, приравниваем составленное уравнение к нулю и определяем начальный угол поворота:

;

.

Вычисляем и строим эпюру прогибов в долях EI_x , подставляя в уравнение прогибов различные значения z (рисунок 3.2, в):

;

;

;

;

;

Наибольшей величины прогиб достигает на краю консоли и равен

.

Определяем величину допускаемого прогиба по формуле (3.16):

.

Проверяем жесткость балки:

.

Условие жесткости выполняется.

Вывод: в качестве поперечного сечения балки выбран двутавр № 20, для которого выполняются условия прочности и жесткости.