Задание 2 Проектирование математической основы тематической карты

Данное задание включает в себя три работы:

— расчет частных масштабов длин и площадей, величин искажений на территорию картографируемого района;

— расчет прямоугольных координат вершин углов трапеции и координат опорных точек. Построение математической основы фрагмента карты;

— разработка макета компоновки создаваемой карты.

Работа 2.1. Расчет частных масштабов длин и площадей, величин искажений на территорию картографируемого района.

Известно, что при создании карт эллипсоид вращения должен быть развернут на плоскость. Однако ни эллипсоид вращения, ни шар (в некоторых случаях) не могут быть развернуты на плоскости без складок или разрывов, поэтому при создании карт прибегают к помощи картографических проекций, в которых отображение поверхности земли или иного небесного тела происходит по строгим математическим законам. Эти законы выражают функциональную связь координат точек на поверхности эллипсоида вращения и плоскости (карте).

В основу такого отображения положена система географических или геодезических координат, координатными линиями которой являются меридианы и параллели.

Общее уравнение картографических проекций выглядит так:

, где:

В,L — широта и долгота некоторой точки на поверхности эллипсоида;

— прямоугольные координаты этой же точки в проекции на карте;

— функции, определяющие свойства проекции.

Поскольку таких функций может быть множество, то и картографические проекции могут быть разными по своим свойствам.

Растяжение и сжатие отдельных частей изображения картографируемой поверхности в той или иной проекции неизбежно сопровождается искажениями длин, площадей и углов, причем эти искажения зависят от вида функций . В одних проекциях можно избежать искажения углов, в других — площадей, но длины линий будут искажаться во всех проекциях, за исключением отдельных точек или некоторых линий на карте.

Каждая карта имеет главный масштаб, который показывает общую степень уменьшения картографируемой поверхности при ее отображении на плоскости. Этот масштаб подписывается на карте, но сохраняется, как мы уже сказали, только в отдельных точках или на некоторых линиях карты.

Главный масштаб обозначается буквой и при исследовании проекций принимается равным 1, так как он не влияет на свойства используемой картографической проекции.

Поскольку масштаб — величина переменная, в практику вводится понятие частного масштаба длин и площадей в данной точке по данному направлению.

Частным масштабом длин называют отношение бесконечно малого обрезка на карте к соответствующему бесконечно малому отрезку на поверхности эллипсоида, т.е.:

Частный масштаб является функцией географических координат, определяющих положение точки на земной поверхности, и азимута направления, по которому частный масштаб определяется, т.е. .

Для простоты изложения частные масштабы называют масштабами вдоль каких-либо направлений, например:

— для меридиана ^о или — масштаб по меридианам;

— для параллели ^о или — масштаб по параллелям.

На картах существуют точки, в которых по одному из направлений масштаб длин имеет максимальное (a) или минимальное (b) значение. Эти направления взаимно перпендикулярны и их называют главными направлениями.

Частный масштаб может быть больше главного, например 1,95 — тогда говорят о растяжении изображения, или меньше, например 0,59. Тогда имеет место сжатие изображения.

Частный масштаб не может быть отрицательным, в случае — изображение пропадает.

Частным масштабом площадей р называют отношение бесконечно малой площади на карте к соответствующей бесконечно малой площади на поверхности эллипсоида.

р

Как правило . Зависимость верно только для тех точек карты, где сохраняется отношение площадей, т.е. искажение площадей отсутствует.

Частный масштаб площади зависит только от географических координат изображаемой точки

р .

Искажением длин называется разность между частным масштабом длин и единицей, выраженная в процентах

;

;

т.е. искажение длин может быть положительным и отрицательным.

Искажением площадей называется разность между частным масштабом площади и единицей, выраженная в процентах

;

В пределах карты все виды искажений изменяются. В некоторых картографических проекциях имеются точки или линии, в которых искажения невелики, а с удалением от них вначале медленно, а затем быстро возрастают. Чтобы обеспечить возможно меньшую величину искажений при проектировании карты проводят предрасчет величин искажений и анализируют характер распределения искажений в пределах картографируемой территории.

Для того чтобы показать, как изменяются искажения удобно пользоваться изоколами, т.е. линиями, соединяющими точки с одинаковыми величинами того или иного показателя искажений. Изоколы показывают на макетах карт.

В данной работе все расчеты предлагается провести по эмпирической формуле, которая имеет следующий вид:

m = 1+ 0,000152*L²*cos ² В.

Частный масштаб площади: р = m².

Для нас будут представлять интерес значения средних и максимальных величин частных масштабов длин и площадей и их искажений в пределах картографируемой территории. Тогда:

m _ср = 1+ 0,000152*(L_ср– L₀)²*cos ² В_ср,

m _max = 1+ 0,000152*(L_max– L₀)²*cos ² В_max, где:

m _ср— частный масштаб длин в средней точке картографируемой территории;

m _max— частный масштаб длин в точке, наиболее удаленной от линии нулевых искажений(осевого меридиана зоны);

L_ср— долгота меридиана, проходящего через середину картографируемой территории;

В_ср— широта параллели, проходящей через середину картографируемой территории.

L_max— долгота меридиана, проходящего через точку, максимально удаленную от осевого меридиана зоны;

В_max— широта параллели, проходящей через северную точку территории.

L₀— долгота осевого меридиана зоны в проекции Гаусса-Крюгера;

L₀= 6*N_з– 3 ⁰, где:

N_з— номер зоны в проекции Гаусса-Крюгера и определяется по формуле: N_з= N_к — 30, где N_к — номер долготной колонны.

Искажения длин вычисляются по формуле:

Vm_ср = (m_ср – 1)*100%,

Vm_max=(m_max – 1)*100%,

Vp_ср = (р_ср – 1)*100%,

Vpm_max =(р_max – 1)*100%, где:

р_ср = m²_ср, р_max = m²_max.

Для получения величин L_ср, В_ср,L_max, В_max достаточно определить географические координаты крайних точек картографируемой территории (северной — С, южной — Д, западной — А, восточной — В).

Например, на рис. 6 изображена территория какого-то района, для которого В₁ = 40°20', В₂ = 40°40', L₁=36°30', L₂=37°00', КМ=45 мм, ДД'=22 мм, ВВ''= 8 мм, ВВ' = 9 мм,

К Л= 54мм, АА' =18 мм, СС'= 4 мм.

L

Д

₁ L₂

Рис.6.

Чтобы определить значения широт параллелей, проходящих через точки С и Д, нужно измерить расстояния (в мм) между точками К и М (КМ), Д и Д' (ДД'), С и С' (СС'). Отрезок КМ в то же время равен (B₂ – B₁)', то есть разности широт параллелей, проходящих через точки К и М. Подставляя найденные значения в формулы, получим:

B_С= B₂+ СС'/КМ*(B₂ – B₁)';

B_Д= B₁– ДД'/КМ*(B₂ – B₁)',

где B_С — широта северной точки С территории;

B_Д — широта южной точки Д территории.

Проводя аналогичные действия, можно определить значения долгот крайних меридианов, проходящих через точки А и В по формулам:

L_В = L₂+ ВВ'/ КЛ*( L₂ – L₁)';

L_А = L₁– АА'/ КЛ*( L₂ – L₁)', где

L_А — долгота западной точки А территории;

L_В — долгота восточной точки В территории.

Тогда: L _ср =(L_А+L_В) /2; В _ср= (В _С+ В _Д)/2; В _max = В_С.

За величину L _max принимается значение долготы одной из крайних точек (L_А или L_В) максимально удаленных от осевого меридиана зоны, что определяется по величине Δ, равной разности долгот крайних точек территории и величины L₀, то есть:

Δ= |L_А – L₀| max

или Δ= |L_В – L₀| max .

Подставляя найденные значения в исходные формулы,

определяют искомые величины.

Работа заканчивается анализом величин искажений и характером их распределения по территории картографируемого района, а также рекомендациями по использованию данной проекции для создания тематической карты.

Работа 2.2. Расчет прямоугольных координат вершин углов трапеции и координат опорных точек. Построение математической основы фрагмента карты.

Мы уже говорили о том, что при создании карт не обойтись без математических преобразований с помощью картографических проекций, в которых отображение поверхности Земли или иного небесного тела происходит по строгим математическим законам. Эти законы выражают функциональную связь координат точек на поверхности эллипсоида вращения (В,L) и карте ( ) .

Общее уравнение картографических проекций выглядит так:

х у , где:

В,L — широта и долгота некоторой точки на поверхности эллипсоида;

— прямоугольные координаты этой же точки в проекции на карте;

— функции, определяющие свойства проекции.

Из общего уравнения проекции вытекает, что, зная географические координаты некоторых точек на поверхности эллипсоида вращения, можно достаточно легко определить прямоугольные координаты этих же точек на плоскости и нанести их на физическую основу (бумагу, пластик), на которой будет создаваться карта.

В работе ставится задача определить прямоугольные координаты вершин углов трапеции масштаба 1:25 000 по известным географическим координатам этих же точек, а также определить прямоугольные координаты выбранных опорных точек, необходимых для трансформирования изображения в заданную проекцию.

а) расчет прямоугольных координат вершин углов трапеции (узловых точек картографической сетки) и величины сближения меридианов.

Все необходимые определения удобно свести в таблицу.

L L0 L–L0 В	18^о 00' 00'' 21^о 00' 00'' – 3^о 00' 00''	18^о 07' 30'' 21^о 00' 00'' – 2^о 52' 30''
абсциссы ординаты 54^о 45' 54^о 40'	6 073 637,4 6 064 365,0	6 073 300,3 6 064 027,5
54^о 45' 54^о 40'	–193 148,0 –193 544,6	–185 102,5 –185 482,6
54^о 45' 54^о 40'	Условные 4 306 852,0 4 306 455,4	ординаты 4 314 897,5 4 314 517,4
54^о 45' 54^о 40'	Сближение –2^о 27' 02'' –2^о 26' 53''	меридианов –2^о 20' 55'' –2^о 20' 46''

Полученное значение _ср необходимо округлить до целых минут.

_ср = -2^о 24'

В первую колонку заносятся значения широт северной и южной параллелей листа топографической карты, вложенной в задание. В первой строке второй и третьей колонок записаны значения долгот меридианов западной и восточной рамок карты, во второй строке — долгота осевого меридиана зоны в проекции Гаусса-Крюгера, в третьей- разность долгот.

Все остальные определения получены с помощью «Таблиц прямоугольных координат Гаусса-Крюгера», а условные ординаты, во избежание отрицательных значений ординат точек, получены из выражения:

y_усл.= 500 000 y_табл

б) схемы рамок.

Используя вышеупомянутые «Таблицы….» необходимо определить линейные размеры (северное а_с и южное а_ю основания трапеции, боковую сторону с и диагональ d), а также площадь трапеции Р и выписать данные на приведенную схему. На второй схеме подписать вычисленные значения прямоугольных координат углов рамок трапеции (рис. 7).

а

х=

у=

d=

_с=

х=

у=

c=

P=

а_ю=

Рис.7

в) контроль определений. Проводится с целью выявления грубых ошибок при определении прямоугольных координат и величин сближения меридианов и позволяет на ранней стадии внести необходимые исправления.

Рис.8

г) координаты опорных точек. Необходимы для трансформирования изображения с исходной карты в заданный масштаб (1:50 000) и проекцию (Гаусса-Крюгера) составляемой карты.

Для этого необходимо наложить лист тематической карты на середину листа карты топографической и провести «опознавание» точек путем перекалывания характерных поворотных точек границы землепользования, выбранных на тематической карте, с дальнейшим определением их прямоугольных координат графическим способом, используя для этого подписи километровой сетки на листе топографической карты. Полученные координаты точек занести в таблицу.

№ точек	абсциссы, м	ординаты, м
1	6 066 390	4 307 490
2	6 069 240	4 308 455
3	6 068 972,5	4 312 765
4	6 066 020	4 313 240

д) таблица рабочих координат необходима для перерасчета координат с целью построения математической основы карты в заданном масштабе и нанесения точек на основу с помощью электромеханического координатографа.

Точки	Х,м	Y,м	ΔХ, м	ΔY,м	Рабочие координаты
					Х, мм	Y, мм
0
ЮЗ
СЗ
СВ
ЮВ
1
2
3
4

В данной таблице:

х,у — прямоугольные координаты узловых и опорных точек;

х, у — разность координат, полученная из выражения:

х = х_i – х_о; у = у_i – у_о; где:

х_о,у_о — прямоугольные координаты юго-западного угла километровой сетки;

х,_мм, у,_мм — рабочие координаты узловых и опорных точек в масштабе 1:50 000, выраженные в мм, которые получены из выражения:

х,_мм = ; у,_мм = .

е) построение математической основы.

Для построения математической основы необходимо взять лист чертежной бумаги формата А4 с размерами сторон А=210 мм и В=297 мм. Определить условное начало координат (точка О), для чего рассчитать длину двух отрезков S₁ и S₂ (рис.9).

В

А

Рис.9. Рис. 9а.

S₁= (А–а_ю) – у_юз; S₂= (В – с) – х_юз,где:

А — ширина листа бумаги;

В — длина листа бумаги;

а_ю —южная сторона трапеции в масштабе 1:50 000;

с — боковая сторона трапеции в масштабе 1:50 000;

у_юз и х_юз — соответственно рабочие ордината и абсцисса юго-западного угла трапеции.

Отрезок r — выраженная в радианной мере величина сближения меридианов и равная:

r = , где:

R— произвольный отрезок, равный, например, 200 мм;

— среднее значение величины сближения меридианов;

— радианная мера угла.

Например, при _ср = –2^о 24' отрезок можно рассчитать следующим образом:

r = = = = –8,4 мм

После выполнения вычислений необходимые величины, отрезки и точки наносят на лист бумаги и по значениям рабочих координат на координатографе (рис. 9а) накалывают на основе четыре узловые точки (СЗ, ЮЗ, СВ, ЮВ) и четыре опорные точки (1, 2, 3, 4). Для этого необходимо:

— уложить основу на плоскость координатографа вблизи от южной границы;

— отпустить винты фиксаторов осей и переместить каретку с иглой к точке О условного начала координат;

— установить на счетчиках координатографа нули;

— сориентировать основу таким образом, чтобы при перемещении каретки по оси Х игла координатографа перемещалась точно по линии километровой сетки, прочерченной на основе;

— закрепить винты фиксаторов осей вблизи от начала координат;

— совместить иглу координатографа и точку О, используя для этого микрометренные винты каретки;

— проверить установку нулей на счетчике координат и наколоть необходимые точки.

Математическая основа карты может быть построена и другим способом, используя для этого возможности географической информационной системы MapInfo. Для этого необходимо запустить программу MapInfo, дважды указав на иконку MapInfo на рабочем столе (Рис.10).

Рис. 10

Через несколько секунд появится диалог начала сеанса (рис.11). В нем нужно нажать кнопку «ОТМЕНА».

Далее выполняем команду ФАЙЛ > НОВАЯ ТАБЛИЦА. В диалоге отмечаем флажком строку «Показать картой» и нажимаем кнопку «Создать» (рис.12).

Рис.12.