Ортогональные проекции

Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай проецирования параллельного, когда все проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций, но при прямоугольном проецировании проекция отрезка, если он не параллелен плоскости проекций, всегда меньше самого отрезка (рис. 15). Это объясняется тем, что сам отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция — катетом: А'В' = ABcos a.

При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную величину, когда обе стороны его параллельны плоскости проекций, и тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости проекций.

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой же угол.

Рис. 15

Рис. 16

Пусть дан прямой угол ABC, у которого сторона АВ параллельна плоскости п' (рис. 16). Проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости п'. Значит, АВ _|_S, так как АВ _|_ ВС и АВ _|_ ВВ, отсюда АВ _|_ В'С'. Но так какАВ || А'В' _|_ В'С', т. е. на плоскости п' угол между А'В' и В'С равен 90°.

Обратимость чертежа.

Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А не определяет положение самой точки в пространстве, так как не известно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций п'. Любая точка проецирующего луча, проходящего через точку А, будет иметь своей проекцией точку А'. Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа. Чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций ‑ комплексные чертежи, а путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций ‑ аксонометрические чертежи).

Аксонометрические проекции

В ряде случаев для пояснения прямоугольных проекций сложных деталей, машин и механизмов применяют аксонометрические проекции. С их помощью получают наглядное изображение предметов. Сущность аксонометрического проектирования заключается в том, что фигуру, связанную с пространственной системой координатных осей, вместе с этими осями координат проецируют на проецируют на одну плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций.

.

Общие сведения об аксонометрических проекциях

При выполнении технических чертежей в ряде случаев оказывается необходимо наряду с изображением предметов в прямоугольных проекциях иметь и наглядные их изображения. Это необходимо для обеспечения возможности более полно выявить конструктивные решения, заложенные в изображении предмета, правильно представить положение его в пространстве, оценить пропорции его частей и размеры.

Наглядные изображения на некоторых чертежах могут применяться и независимо от прямоугольных изображений, например, при изображении схем электроснабжения и теплоснабжения зданий и сооружений.

Существуют различные способы построения наглядных изображений. Сюда относятся аксонометрические, афинные и векторные проекции, а также линейная перспектива.

Рис. 17

Построение аксонометрических проекций заключается в том, что геометрическую фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта фигура отнесена в пространстве, параллельным (прямоугольным или косоугольным) способами проецируют на выбранную плоскость проекций. Таким образом, аксонометрическая проекция — это проекция на одну плоскость. При этом направление проецирования выбирают так, чтобы оно не совпадало ни с одной из координатных осей.

При построении аксонометрических проекций изображаемый предмет жестко связывают с натуральной системой координат Oxyz. В целом аксонометрический чертеж получается состоящим из параллельной проекции предмета, дополненной изображением координатных осей с натуральными масштабными отрезками по этим осям. Название «аксонометрия» и произошло от слов — аксон — ось и метрео — измеряю.

Образование аксонометрической проекции рассмотрим на примере построения аксонометрической точки А, отнесенной к натуральной системе координат Oxyz (рис. 17). Натуральные координаты точки А получаются измерением отрезков координатной ломаной АА₁А_ХО натуральным масштабом е. При параллельном проецировании по направлению S на плоскости аксонометрических проекций nⁱ получим аксонометрическую проекцию Аⁱ данной точки, аксонометрическую проекцию АⁱAⁱ₁Аⁱ_xО координатной ломаной и аксонометрическую проекцию ОУуУ натуральной системы координат, на осях которой будут находиться единичные аксонометрические масштабные отрезки eⁱ_xeⁱ_yeⁱ_z.

Аксонометрическая проекция Аⁱ₁ горизонтальной проекции точки А (первичной) называется вторичной проекцией точки А. Совокупность всех этих проекций и составляет аксонометрию точки А.

На аксонометрическом чертеже вторичная и аксонометрическая проекции предмета обеспечивают метрическую определенность и обратимость однокартинного изображения.

В аксонометрических проекциях сохраняются все свойства параллельных проекций.

На практике измерения вдоль аксонометрических осей выполняют в одинаковых единицах — миллиметрах, поэтому единичные натуральные масштабные отрезки и их аксонометрию на чертежах не указывают.

Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии определяют отношением аксонометрических координатных отрезков к их натуральной величине при одинаковых единицах измерения.

Натуральные коэффициенты искажения обозначают: по оси х: u =ОⁱАⁱ_х/OA_x; по оси у: v =Aⁱ_xАⁱ₁/A_xA₁;

по оси z: w =Aⁱ₁А₁/A₁A;