- •Содержание.
- •1. Условные обозначения.
- •2. Выражения и преобразования.
- •Пусть , тогда:
- •2. Найти значение выражения , если .
- •Решение простейших уравнений и неравенств: квадратных, рациональных (дробно-рациональных).
- •Понятие модуля. Решение простейших уравнений и неравенств с неизвестным под знаком модуля.
- •Пусть , тогда:
- •27. Найти значение выражения , если .
- •1. Приведение обеих частей неравенства к одному основанию.
- •2. Вынесение общего множителя за скобки.
- •6.Тригонометрические преобразования. Таблицы значений основных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений.
- •7. Декартова система координат. Построение точек и прямых. Понятие функции. Свойства функций. Графики элементарных функций.
- •8. Производная. Правила дифференцирования. Таблица производных, Производная сложных функций. Исследование функции с помощью производной.
- •1. Монотонность
- •2. Экстремумы
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Задачи для подготовки итоговому тесту.
2. Найти значение выражения , если .
3. Упростите выражение и вычислите его значение при .
4. Упростите выражение и вычислите его значение при .
5. Упростите выражение и вычислите его значение при .
6. Упростите выражение .
7. При всех допустимых и найти численное значение выражения
.
8. При всех допустимых упростить выражение:
.
9. При всех допустимых и упростить выражение:
.
10. .
11. .
12. .
Решение простейших уравнений и неравенств: квадратных, рациональных (дробно-рациональных).
Многие уравнения и неравенства часто сводятся к решению линейных и квадратных уравнений и неравенств соответственно. Поэтому кратко повторим основные подходы к их решению.
Корень (решение) уравнения – число, которое при подстановке его в уравнение вместо переменной, превращает данное уравнение в верное равенство.
Решить уравнение, - значит, найти все его корни (решения) или доказать, что корней (решений) нет.
Равносильные уравнения – уравнения, множества корней (решений) которых совпадают, в частности, если оба уравнения не имеют корней, то они равносильны.
Замечание: 1. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения , полученного после некоторых преобразований из уравнения , то уравнение называют следствием уравнения .
2. Если каждое из двух уравнений является следствием другого из них, то такие уравнения являются равносильными.
Линейные уравнения – уравнения вида , где и - некоторые числа, - переменная. Эти уравнения имеют три различных случая решения (рассмотрим на примерах):
Пример. (умножим обе части уравнения на 12).
,
,
,
. (единственное решение).
Пример. , решений нет.
Пример. ; любое
удовлетворяет последнему уравнению, а значит и исходному. (бесконечно много
решений).
Квадратные уравнения – уравнения вида , где и - некоторые числа, - переменная, при этом (при уравнение превращается в линейное.) Если или , а также в случае одновременного равенства нулю этих коэффициентов квадратное уравнение называют неполным и решают стандартными способами разложения на множители.
Пример. или ; или .
Пример. .
Для решения полного квадратного уравнения используют обычную формулу корней квадратного уравнения:
.
Возможны три случая:
1. ; уравнение имеет два различных действительных корня , ;
2. ; уравнение имеет два одинаковых действительных корня ;
3. ; уравнение не имеет действительных корней.
Замечание. Для решения приведенного квадратного уравнения, , , часто используют теорему Виета:
, .
Пример. .
Рациональные (дробно-рациональные) уравнения.
Определение: Функция вида , где ; - некоторый действительные числа, называется целой рациональной функцией.
Целым рациональным уравнением называется уравнение вида , где - целая рациональная функция.
Теорема 1. Для того чтобы несократимая дробь была корнем многочлена с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число было делителем свободного члена , а число - делителем старшего коэффициента .
Теорема 2. (Теорема Безу) Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению мног4очлена при , то есть .
При делении многочлена на двучлен имеем равенство
.
Оно справедливо, в частности, при , то есть .
Пример. Решить уравнения: 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Пример. Решить уравнение .
Решение: Поскольку коэффициенты уравнения – целые числа, то попробуем найти хотя бы один целый корень. Делителями свободного члена являются числа . Подстановкой легко убедиться, что - корень уравнения. Проведем деление многочленов «уголком»:
|
Получили .
Аналогично, убеждаемся, что - корень многочлена , проведем деление:
Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:
,
Что равносильно совокупности двух уравнений:
Дискриминант второго уравнения отрицательный, значит, оно не имеет действительных корней. Итак, является корнем исходного уравнения.
Для самостоятельного решения:
Решить уравнение:
Ответ: -1, 2.
Дробно-рациональным уравнением называется уравнение вида , где - многочлены.
Решение дробно-рационального уравнения сводится к нахождению корней уравнения и проверке того, что они удовлетворяют условию , то есть рациональное уравнение равносильно системе:
Пример. Решить уравнения 1) ;
2) .
Пример. Решить уравнение .
Решение: Область определения уравнения:
.
Далее будем работать на области определения уравнения. Умножим обе части уравнения на и получим уравнение:
,
.
Пример. Решить уравнение .
Решение: Область определения уравнения:
.
Далее будем работать на области определения уравнения. Заметим, что ; . Сделаем замену . Тогда исходное уравнение перепишем следующим образом:
,
, ,
,
Обратная замена:
.
Пример. Решить уравнение .
Решение: Непосредственно проверкой устанавливаем, что не является корнем данного уравнения. Тогда вынесем из каждой скобки и перейдем к равносильному уравнению:
,
.
Сделаем замену: . Отсюда:
или .
,
Пример. Решить уравнение .
Решение: Сгруппируем множители в левой части уравнения так, чтобы при перемножении были равны первый коэффициент и свободный член:
Далее аналогично примеру 10. Так как не является корнем уравнения, вынесем его за скобки:
Замена: , или .
.
Пример. Решить уравнение .
Решение: Так как не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на , получим уравнение, равносильное данному:
.
Сгруппируем члены этого уравнения:
.
Введем замену: , , .
или .
.
Для самостоятельного решения:
1. Решить уравнение:
(Примечание: замена ).
Ответ: -2, 1.
2. Решить уравнение: .
(Примечание: замена ).
Ответ: .
Рациональные (дробно-рациональные) неравенства. Метод интервалов для рациональных функций.
Важнейшим методом решения неравенств является метод интервалов. В 9 классе изучается метод интервалов, прежде всего для многочленов. Он основан на том, что двучлен положителен при и отрицателен при , то есть меняет знак при переходе через точку .
Заметим, что
двучлен в нечетной степени ведет себя так же, как ,
двучлен в четной степени ведет себя по-другому: он не меняет знак при переходе через точку .
квадратичный трехчлен, имеющий положительный коэффициент при и отрицательный дискриминант, всегда положителен и может быть опущен при решении любого неравенства.
при переходе через точку может изменить знак только один множитель, , выражение при переходе через точку знак не меняет.
Пример. а. Решить неравенство ,
б.
Решение: а. Для решения строгого неравенства наносим на числовую ось нули функции кружочками («дырками»). Далее расставляем знаки, учитывая замечание выше:
Ответ: .
б. Вспомним, что по определению,
.
Для решения нестрогих неравенств наносим нули функции на числовую ось точками. Затем расставляем знаки в промежутках.
Ответ: .
Метод интервалов легко распространяется на рациональные функции.
Рациональной называется функция, которая может быть представлена в виде частного двух многочленов, то есть в виде .
Неравенства называются рациональными, если их правые и левые части являются рациональными функциями.
Заметим, что , поэтому метод интервалов применяется к дроби точно так же, как и к многочленам. Для нестрого же неравенства имеем:
.
При решении нестрогих рациональных неравенств нули числителя наносятся на числовую ось точками, а нули знаменателя - «дырками».
Пример. Решить неравенство .
Решение: Приведем неравенство к стандартному виду и разложим числитель и знаменатель на множители. Затем решаем методом интервалов:
, , ,
Ответ: .
Пример. Найти сумму целых решений неравенства .
Решение: Решим неравенство методом интервалов:
. Видно, что целыми решениями являются числа: -2, -1. 3. 4. Их сумма равна 4.
Ответ: 4.
Для самостоятельного решения:
Решить неравенства:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Укажите длину промежутка, который является решением неравенства:
Ответ: 9.
3. Найти произведение всех целых решений неравенства: .
Ответ: .