4.Виды средних величин и способы вычисления

Как правило многие признаки единиц статистической совокупности различны по своему значению. Например, заработная плата рабочих одной профессии какого-либо предприятия не одинакова за один и тот же период времени, различны урожайность сельскохозяйственных культур в хозяйствах района, цены на рынке на одинаковую продукцию и т.д. Поэтому, чтобы определить значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, прибегают к расчету средних величин.

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Например, средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (месяц, квартал, год) к численности рабочих.

Средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, и в тоже время он игнорирует различие (вариацию) отдельных единиц.

Основным условием научно обоснованного использования средних является то, что средний показатель должен определяться только для совокупностей, состоящих из однородных единиц. В противном случае средние будут искажать характер изучаемого явления, фальсифицировать его, или будут бессмысленными.

Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц, так как в этом случае согласно закону больших чисел взаимопогашаются случайные, индивидуальные различия между единицами, что способствует проявлению основного, существенного, присущего всей массе.

Средние величины делятся на степенные и структурные.

Степенные средние объединяются общей формулой (при различных значениях m):

где

- среднее значение исследуемого явления

m – показатель степени средней

X – фактическое значение вариант осредняемого признака

n – число вариант

В зависимости от m различают следующие виды степенных средних:

m = -1 – средняя гармоническая

m = 0 - средняя геометрическая

m = 1 – средняя арифметическая

m = 2 – средняя квадратическая

m = 3 – средняя кубическая

Свойство степенных средних возрастать с повышением степени функции называется правилом мажорантности средних. Т.е. при использовании одних и тех же данных верно следующее неравенство:

Вид средней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также принципами суммирования и взвешивания.

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое значение варьирующего признака встречается в совокупности один раз или когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака. Простой средней арифметической называется сумма данных величин, деленная на их количество

, где

Х₁, Х₂, … , Х_n – индивидуальные значения варьирующего признака (варианты)

n – число единиц совокупности (количество вариант)

Например, определить среднюю выработку одного рабочего, если известно, сколько деталей изготовил каждый из пяти рабочих бригады, т.е. дан ряд индивидуальных значений признака, шт.:

21, 19, 23, 28, 25.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, если варианты повторяются различное число раз, или как говорят, имеют различный вес.

,где

f_1, f_2, … f_n – веса (частоты повторения одинаковых вариант)

Например, по пяти сельскохозяйственным предприятиям имеются следующие данные:

С/х предприятия	Урожайность зерновых, ц/га	Площадь, га
1	17,9	100
2	24,0	150
3	21,3	170
4	16,5	90
5	28,9	140
Итого	х	650

Следует определить среднюю урожайность зерновых по этим предприятиям. Для расчета средней урожайности используем взвешенную среднюю арифметическую, так как урожайность в 17,9 ц/га повторяется на площади в 100 га, урожайность в 24 ц/га – на площади в 150 га и т.д. В данном случае в качестве весов (частоты повторения урожайности) используется посевная площадь.

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов (от – до), т.е. дан интервальный ряд распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков (вариант) в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Например, приведены следующие данные по акционерному обществу:

Исходные данные		Расчетные значения
Группы рабочих по оплате труда, руб	Число рабочих, чел. f	Середина интервала, руб. x	x*f
До 2000	5	1750 ( )	8750
2000-2500	15	2250 ( )	33750
2500-3000	20	2750	55000
3000-3500	30	3250	97500
3500 и более	16	3750	60000
итого	86	х	255000

Для определения средней оплаты труда от интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями с помощью простой средней между нижней и верхней границами каждого интервала. При этом открытые интервалы закрывают с помощью величины интервалов, примыкающих к ним (в нашем случае, второго и предпоследнего)

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными, т.е. не частотами, а, так называемыми, частостями в виде процентов или коэффициентов. Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

, где

- частость, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Средняя арифметическая имеет некоторые свойства, воспользовавшись которыми можно упростить и облегчить процедуру ее расчета. Приведем (без доказательства) основные свойства средней:

Свойство 1. Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам x совокупности, а сразу представлена как их произведение xf, т.е. когда имеются варианты x и объемная величина, которую можно представить в виде xf .

Формулу средней гармонической можно представить следующим образом:

, где W = xf

Например, по данным таблицы требуется определить среднюю цену 1 кг яблок в октябре.

Номер магазина	Исходные данные		Расчетные значения
	Цена 1 кг яблок, руб. х	Выручка от продажи яблок, руб. w	f=
1	17	3060	180 (3060: 17)
2	20	2800	140 (2800:20)
3	24	1920	80 (1920:24)
Итого	х	7780	400

Средняя цена, руб =

Определяющим показателем здесь является числитель логической формулы. Выручка от продаж (числитель) известна, а количество проданной продукции – неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Средняя гармоническая простая используется достаточно редко. Она применяется в тех случаях, когда вес каждой варианты равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу).

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, цепные относительные величины динамики (см. учебное пособие ''Ряды динамики'').

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени n из произведений вариантов признака x :

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики.

В ряде случаев в экономической политике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны n кубов).

Средняя квадратическая простая

Средняя квадратическая взвешенная

, где f – веса

Средняя кубическая простая

Средняя кубическая взвешенная

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Более используется в статистике средняя квадратическая, но не из самих вариантов x, а из их отклонений от средней при расчете показателей вариации.

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. Это мода и медиана.

Мода (М_о) – значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности, т.е. варианта, имеющая наибольшую частоту.

Например, имеются следующие данные по бригаде:

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт.	Число рабочих
18	2
19	4
20	5
21	3
22	1
Итого	15

В данном случае модальное значение выработки равно 20 деталей, т.к. ему соответствует наибольшая частота f = 5.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

, где

х _Мо – нижняя граница модального интервала

i _Мо – величина модального интервала

f _Мо – частота модального интервала

f _Мо-1 – частота интервала, стоящего перед модальным

f _Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным

Модальный интервал – это интервал, которому соответствует наибольшая частота f.

Например, имеются данные по предприятиям региона:

Группы предприятий по стоимости основных фондов, млн. руб	Число предприятий
14-16	2
16-18	6
18-20	10
20-22	4
22-24	3
Итого	25

Модальным значением стоимости основных фондов предприятий региона является стоимость равная 18,8 млн. руб.

Медиана (М_е) – это варианта, находящаяся в середине ранжированного вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

Если вариационный дискретный ряд нечетный, то номер медианы вычисляется по формуле:

, где n – число членов ряда.

Например, имеются данные по бригаде:

Табельный № рабочего	Выработка за месяц, тыс. руб
1	630
2	650
3	700
4	710
5	690
6	700
7	640

Ранжируем выработку по возрастанию признака:

№ по ранжиру	1	2	3	4	5	6	7
Выработка, тыс. руб.	630	640	650	690	700	700	710

Определяем номер медианового показателя , таким образом, медиана равна 690 тыс. руб., т.е. одна половина рабочих бригады имела выработку менее 690 тыс. руб., а другая – более 690 тыс. руб.

В случае четного вариационного дискретного ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

Например, имеется заработная плата по 8 рабочим завода:

Табельный номер	Зарплата, тыс. руб.
1	5,3
2	4,8
3	5,2
4	5,0
5	5,5
6	6,0
7	4,9
8	5,5

Проранжируем ряд по возрастанию зарплаты:

Номер по ранжиру	Зарплата, тыс. руб.
1	4,8
2	4,9
3	5,0
4	5,2
5	5,3
6	5,5
7	5,5
8	6,0

В середине стоят 4 и 5 рабочие по ранжиру, значит

Медианная зарплата равна 5,25 тыс. руб.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется по формуле:

, где

х _Ме – нижняя граница медианного интервала

i _Ме – медианный интервал

- полусумма всех частот ряда

S _Ме – сумма частот интервалов, стоящих перед медианным

f_Ме – частота медианного интервала

Например, имеются данные по предприятиям региона:

Группы предприятий по стоимости основных фондов, млн. руб.	Число предприятий
14-16	2
16-18	6
18-20	10
20-22	4
22-24	3
Итого	25

Прежде всего найдем медианный интервал, , т.е. медианное значение будет средним из значений у 12-го и 13-го предприятий в ранжированном ряду. Очевидно, что эти предприятия находятся в третьем интервале (18-20 млн. руб.), поскольку его кумулятивная частота равна 18(2+6+10), что превышает половину суммы всех частот ( ).

Из 25 предприятий региона 12 предприятий имеют стоимость основных фондов менее 18 млн. руб., а 12 предприятий – более 18 млн. руб.