Задание

В табл. 1.2 (см. ниже) приведены экспериментально полученные точки, определяющие зависимость между переменными и по одной из пяти функций, приведенных в табл. 1.1.

Необходимо на одном из математических пакетов реализовать линеаризацию зависимости, подобрать параметры и по методу наименьших квадратов и проверить правильность вычислений с помощью известной зависимости (см. примеры 4.1-4.2). Правильно составленный документ будет давать пренебрежимо малую невязку в том случае, когда значения вычисляются точно по заданной зависимости (ошибки будут возникать только за счет округлений при вычислении).

Поскольку вид зависимости первоначально неизвестен, следует проделать вычисления для всех пяти зависимостей и выбрать ту из них, которая обеспечивает наименьшую из всех вычисленных суммарную невязку .

Эти данные заносятся в протокол выполнения работы и служат основанием для составления отчета с выводами по работе.

Контрольные вопросы

1. Что такое интерполяция и аппроксимация? Чем они отличаются?

2. В чем заключается метод наименьших квадратов?

3. Являются ли необходимые условия минимизации также и достаточными?

4. В каком случае можно линеаризовать аппроксимирующую кривую?

5. С какой целью и каким образом проводится линеаризация?

Считая, что зависимость между переменными и имеет вид , в задачах 6 и 7 найти оценки параметров по следующим выборкам.

6. 	0	2	4	6	8	10
   	5	-1	-0,5	1,5	4,5	8,5

	-2	-1	0	1	2
	4,8	0,4	-3,4	0,8	3,2

В задачах 8 и 9 найти оценки параметров и , считая, что зависимость между переменными и имеет вид

8. 	2	4	6	12
   	8	5,25	3,50	3,25

	5,67	4,45	3,84	3,74	3,73	2,18
	6,8	8,5	10,5	10,2	6,8	11,8

Таблица 1.2

1	х	-1	-0,55	-0,1	-,35	0,8	1,25	1,7	2,15	2,6	3,05
	у	-6,78	-6,56	-6,14	-5,31	-3,68	-0,85	5,81	18,15	42,4	90,03
2	х	0,01	0,56	1,11	1,66	2,21	2,28	3,3	3,85	4,4	4,95
	у	34,23	5,97	1,28	-1,54	-3,54	-5,09	-6,36	-7,44	-8,37	-9,2
3	х	-2	-1,6	-1,2	-0,8	-0,4	0	0,4	0,8	1,2	1,6
	у	16	10,24	5,76	2,56	0,53	0	0,64	2,56	5,76	10,24
4	х	0,3	1,57	2,84	4,11	5,38	6,65	7,92	9,19	10,46	11,73
	у	15,33	4,55	3,41	2,97	2,74	2,6	2,59	2,44	2,38	2,34
5	х	-3,5	-2,65	-1,8	-0,95	-0,1	0,75	1,6	2,45	3,3	4,15
	у	0,01	0,03	0,07	0,12	0,19	0,2	0,29	0,31	0,325	0,33
6	х	0,15	0,94	1,72	2,51	3,29	4,08	4,86	5,65	6,43	7,22
	у	-9,69	-4,2	-2,37	-1,25	-0,43	0,21	0,74	1,3	1,58	1,93
7	х	0,35	0,82	1,28	1,75	2,21	2,675	3,14	3,605	4,07	4,535
	у	6,86	5,23	4,78	4,57	4,45	4,37	4,35	4,28	4,25	4,22
8	х	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8
	у	4,14	4,2	4,3	4,45	4,67	5	5,49	6,85	7,32	8,95
9	х	2	2,3	2,6	2,9	3,2	3,5	3,8	4,1	4,4	4,7
	у	2,67	4,06	6,16	8,13	10,92	14,29	18,29	22,97	28,39	34,6
10	х	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
	у	0,01	0,02	0,05	0,11	0,21	0,38	0,42	0,47	0,49	0,5
11	х	0,95	1,21	1,47	1,74	2,0	2,26	2,52	2,78	3,05	3,31
	у	8,16	3,39	2,19	1,34	0,88	0,61	0,54	0,33	0,28	0,19
12	х	0,35	0,82	1,28	1,75	2,21	2,68	3,14	3,61	4,07	4,535
	у	16,99	8,83	6,61	5,56	4,96	4,62	4,29	4,09	3,93	3,8
13	х	-1,7	-1,43	-1,16	-0,89	-0,62	-0,35	-0,08	0,19	0,46	0,73
	у	26,96	14,46	7,17	2,92	0,45	-0,98	-1,35	-2,31	-2,6	-2,77
14	х	-5	-3,5	-2	-0,5	1	2,5	4	5,5	7	8,5
	у	0	0,01	0,06	0,28	0,87	2,05	2,92	3,23	3,31	3,33
15	х	-2	-1,4	-0,8	-0,2	0,4	1,0	1,6	2,2	2,8	3,4
	у	6,8	3,33	1,09	0,02	0,27	1,7	4,35	8,23	13,33	19,65

Табл. 1.2 (продолжение)

16	х	0,4	0,86	1,32	1,78	2,24	2,7	3,16	3,62	4,08	4,54
	у	-20,5	-11,2	-8,3	-6,93	-6,5	-5,59	-5,3	-4,93	-4,83	-4,54
17	х	0,01	0,51	1,01	1,52	2,01	2,51	3,0	3,05	4,0	4,5
	у	-1,14	2,39	3,01	3,37	3,63	3,83	3,99	4,13	4,25	4,35
18	х	-5	-3,91	-2,82	-1,73	-0,64	0,45	1,54	2,63	3,72	4,81
	у	0	-0,01	-0,01	-0,03	-0,07	-0,18	-0,2	-0,23	-0,24	-0,25
19	х	-2,1	-1,79	-1,48	-1,17	-0,86	-0,55	-0,24	0,07	0,38	0,69
	у	0,28	0,29	0,3	0,32	0,36	0,48	0,78	1,52	3,41	8,21
20	х	0,01	0,53	1,05	1,57	2,09	2,61	3,12	3,64	4,16	4,68
	у	15,22	3,31	1,26	0,05	-0,81	-1,74	-2,17	-2,48	-2,88	-3,23
21	х	0	0,4	0,8	1,2	1,6	2,0	2,4	2,8	3,2	3,6
	у	0,3	7,5	11,37	14,5	17,24	19,9	21,98	24,11	26,12	28,04
22	х	-4	-3,01	-2,02	-1,03	-0,04	0,95	1,94	2,93	3,92	4,91
	у	-0,02	-0,05	-0,12	-0,26	-0,49	-0,72	-0,87	-0,94	-0,98	-0,99
23	х	0,4	0,81	1,22	1,5	2,04	2,45	2,86	3,27	3,68	4,09
	у	1,8	0,53	0,12	-0,09	-0,21	-0,31	-0,35	-0,39	-0,43	-0,46
24	х	-1	-0,72	-0,44	-0,17	0,12	0,39	0,67	0,95	1,22	1,5
	у	-4,95	-4,89	-4,74	-4,39	-3,6	-1,93	2,42	12,08	34,33	85,55
25	х	0,01	0,51	1,01	1,51	2,01	2,51	3,01	3,51	4,01	4,51
	у	-4,76	2,29	3,52	4,24	4,76	5,06	5,48	5,76	6,0	6,21
26	х	-5	-3,95	-2,9	-1,85	-0,8	0,25	1,3	2,35	3,4	4,45
	у	-0,01	-0,03	-0,8	-0,2	-0,49	-0,96	-1,45	-1,76	-1,91	-1,97
27	х	0,5	1,4	2,3	3,2	4,1	5,0	5,9	6,8	7,7	8,6
	у	2,41	3,32	4,1	4,3	4,64	4,94	5,0	5,43	5,64	5,84
28	х	0,11	0,499	0,89	1,28	1,67	2,055	2,44	2,83	3,22	3,61
	у	6,27	0,6	-0,1	-0,37	-0,52	-0,61	-0,67	-0,69	-0,75	-0,78
29	х	0,01	0,59	1,17	1,75	2,33	2,91	3,48	4,06	4,64	5,22
	у	8,82	-3,41	-5,93	-6,67	-7,53	-8,2	-8,74	-9,15	-9,61	-9,96
30	х	-2	-1,62	-1,24	-0,87	-0,49	-0,11	0,27	0,65	1,02	1,4
	у	37,63	19,33	10,19	5,55	3,21	2,02	1,64	1,11	0,96	0,88