Статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

- число испытаний, в которых появилось событие А;

- общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

• Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

• События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

• Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Таким образом, статистическое определение вероятности хотя и достаточно полно выявляет содержание этого понятия, но не даёт возможности фактического вычисления вероятности, то есть не является рабочим определением.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Геометрическое определение вероятности.

На практике очень часто встречаются такие испытания, число возможных исходов которых бесконечно.

Иногда в таких случаях можно воспользоваться методом вычисления вероятности, в котором по-прежнему основную роль играет понятие равновозможности некоторых событий. Применяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному бросанию точки на конечный участок прямой, плоскости, пространства. Отсюда и возникает само название вероятности – геометрическая вероятность.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области.

Для определения ограничимся двумерным случаем. Одномерный и трёхмерный случаи отличаются только тем, что вместо площади в них нужно говорить о длинах и объёмах.

Пусть на плоскости имеется некоторая область ,

площадь которой , и в ней содержится другая

область , площадь которой . В область

наудачу бросается точка. Спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадёт в область ?

При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую часть области , и вероятность попасть в какую-либо часть области пропорциональна площади этой части и не зависит от её расположения и формы. Таким образом, вероятность попадания в область при бросании наудачу точки в область :

Пример: (задача о встрече) Два лица условились встретиться в определённом месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 11 и 12 часами и ждёт в течение 30 минут. Если партнёр к этому времени ещё не пришёл, или уже успел покинуть установленное место, встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Решение: Пусть х и у – моменты прихода в определённое место двух лиц.

Тогда ,

Встреча произойдёт, если :

Замечание: Свойства вероятности сохраняются и при геометрическом определении вероятности.