- •Часть 1
- •Раздел 1. Элементы общей теории сигналов
- •1.1 Классификация сигналов
- •1.2. Некоторые элементы функционального анализа сигналов
- •1.3 Основы теории ортогональных сигналов
- •Раздел 2. Спектральные представления сигналов
- •2.1. Понятие о спектре периодических и непериодических сигналов
- •2.2 Спектральное представление периодических сигналов
- •2.3 Спектральное представление непериодических сигналов
- •2.4 Теоремы о спектрах
- •2.5 Спектральные представления сигналов с использованием негармонических функций
- •Раздел 3. Сигналы с ограниченным спектром
- •3.1. Некоторые математические модели сигналов с ограниченным спектром
- •3.2 Теорема Котельникова
- •3.3. Узкополосные сигналы
- •3.4. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта
- •Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов
- •4.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр
- •4.2. Автокорреляционная функция сигналов
- •4.3. Акф дискретного сигнала
- •4.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов
- •Раздел 5. Модулированные сигналы
- •5.1. Сигналы с амплитудной модуляцией
- •5.2 Сигналы с угловой модуляцией
- •5.3. Дискретные формы угловой модуляции
- •5.4 Сигналы с импульсной модуляцией
- •Раздел 6. Основы теории случайных процессов
- •6.1. Случайные процессы. Основные понятия и определения
- •6.2. Характеристики случайных процессов
- •6.3. Моментные функции случайных процессов
- •6.4. Свойства случайных процессов
- •6.5. Функция корреляции двух случайных процессов
- •6.6. Измерение характеристик случайных процессов
- •6.7. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
- •6.8 Типовые модели случайных сигналов
- •6.9 Узкополосные случайные сигналы
- •Раздел 7. Основные элементы цифровой обработки сигналов
- •7.1. Дискретное преобразование Фурье
- •7.2. Быстрое преобразование Фурье
- •Раздел 1.Каналы электросвязи
- •Тема1.1 Общие сведения о каналах электросвязи и их классификация
- •1.2 Математические модели каналов электросвязи
- •1.2.1 Математические модели непрерывных каналов связи
- •1.2.2 Математические модели дискретных каналов связи
- •Раздел 2 Основные положения теории передачи информации
- •2.1 Информационные параметры сообщений и сигналов
- •2.2 Взаимная информация
- •Эффективное кодирование дискретных сообщений
- •Тема 2.4. Информация в непрерывных сигналах
- •Тема 2.5. Пропускная способность канала связи
- •Тема 2.6. Теорема к. Шеннона
- •Тема 2.7. Информация в непрерывных сообщениях. Эпсилон-энтропия
- •Раздел 3. Оптимальный приём дискретных сообщений
- •Тема 3.1. Постановка задачи оптимального приёма дискретных сообщений как статистической задачи. Понятие помехоустойчивости
- •3.2. Элементы теории решений
- •3.3. Критерии качества оптимального приёмника
- •3.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. Когерентный приём
- •3.5 Структурное построение оптимального приёмника
- •3.6 Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра
- •3.8 Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции
- •3.9 Приём сигналов с неопределённой фазой (некогерентный приём)
3.4. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта
Анализируя формулу обратного преобразования Фурье, приходим к выводу, что произвольный сигнал S(t) с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:
(3.26)
Назовём функцию:
(3.27)
аналитическим сигналом, отвечающим колебанию S(t). Первый из интегралов в правой части формулы (3.26) путём замены переменной преобразуется к виду:
(3.28)
Поэтому формула (3.26) устанавливает связь между сигналами S(t) и : (3.29)
или: - вещественная часть аналитического сигнала. Мнимая часть аналитического сигнала:
(3.30)
Называется сопряжённым сигналом по отношению к исходному колебанию S(t). Итак аналитический сигнал:
(3.31)
На комплексной плоскости этот сигнал отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу S(t).
Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала. Пусть
Если - спектральная плотность сопряжённого сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье:
(3.32)
Спектральная плотности исходного и сопряжённого сигналов связаны между собой следующим образом:
(3.33)
Чтобы на практике получить сопряжённый сигнал, необходимо исходное колебание S(t) подать на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол - в области положительных частот и на угол в области отрицательных частот, не изменяя по амплитуде. Формула (3.33) показывает, что спектральная плотность сопряжённого сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции . В соответствии с обратной теоремой о свёртке сопряжённый сигнал представляет собой свёртку двух функций S(t) и f(t), которая является обратным преобразованием Фурье по отношении к функции .
Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:
Тогда:
(3.34)
Таким образом сопряжённый сигнал связан с исходным сигналом соотношением:
(3.35)
Можно поступить и по иному, выразив сигнал S(t) через , который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (3.33) вытекает следующая связь между спектральными плотностями.
Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (3.35) лишь знаком:
(3.36)
Формулы (3.35) и (3.36) называются прямым и обратным преобразованием Гильберта.
Символическая запись его такова:
(3.37)
Функция называется ядром этих преобразований.
Свойства преобразований Гильберта.
1) Простейшее свойство – линейность. (3.38)
2) Сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю: (3.39)
3) Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо t исходный сигнал S(t) достигнет экстремума(максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал проходит через нуль. Если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряжённый с ним сигнал изменяется «подобно синусу».
4) Преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: в общем случае поведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки, зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени.
Некоторые применения преобразований Гильберта
1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов (3.40)
2) Преобразования Гильберта для узкополосного сигнала.
Пусть известна функция - спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала S(t) с опорной частотой . Согласно формуле (3.25), спектр данного сигнала.
Первое слагаемое в правой части соответствует области частот , второе . Тогда на основании формулы (3.33) спектр сопряжённого сигнала:
(3.41)
Откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряжённого сигнала.
(3.42)
Сопряжённый сигнал в данном случае так же является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала: , то в соответствии с равенством (3.42) комплексная огибающая сопряжённого сигнала равна и отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на в сторону запаздывания.
Отсюда следует что узкополосному сигналу:
соответствует сопряжённый по Гильберту сигнал.
(3.43)
3) Преобразование Гильберта огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.
В рамках метода преобразования Гильберта огибающая произвольного сигнала S(t) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:
(3.44)
По определению полная фаза любого сигнала S(t) равна аргументу аналитического сигнала :
(3.45)
Мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:
(3.46)
Зная аналитический сигнал можно определить огибающую и мгновенную частоту узкополосного сигнала, не применяя искусственное понятие опорной частоты. Кроме того, формулы (3.44, 3.45, 3.45) сохраняют смысл и применительно к сигналам произвольного вида.
Согласно методу преобразований Гильберта, огибающая и мгновенная частота сигнала жёстко связаны друг с другом и их нельзя выбрать произвольно.
Теория аналитического сигнала разработана выдающимся венгерским физиком Денешем Габором, лауреатом Нобелевской премии.