Компоненты макромодели

Ориентация макромодели на оптимизацию крупномас­штабных, организованных по иерархическому принципу ЦСИО повлекла за собой необходимость отказа от громозд­ких матричных форм (матриц инциденций, матриц смежности и т. п.) и перехода к аналитическому описанию структурных параметров (диаметра d, числа ребер m, среднего реберного расстояния между вершинами) в виде функций числа вер­шин n, степени вершин k.

Топология иерархической сети связи описывается контур­но R-разделимым графом с простым подчинением [82], позволяющим представить иерархическую структуру композицией подграфов межступенчатых сетей Wr,r+i, r = 1, R—1 и подсе­тей отдельных ступеней иерархии Wr, r = 1, R (рис. 6.2), которые в свою очередь могут распадаться на зоновые подсети (рис. 6.3). Такая специфика структурных связей обладает свойством топологической рекуррентнести [82], позволяющим по известным индуктивным правилам вычислять характерис­тики (г+1)-й ступени из характеристик г предыдущих сту­пеней.

Рис. 6.2 - Контурно R-разделимый граф

Спектр возможных топологий дискретизируется некоторым набором базовых струк­тур, включающих радиальную сеть (PC), кратчайшую связы­вающую сеть (КСС),_петлевую структуру (ПС), решетчатую структуру (РШ) и равномерно /г-связную сеть (РКС) (0 ) (рис. 6.4). В табл. 1 приводятся аналитиче­ские выражения для парамет­ров базовых структур. Для од­нородных и регулярных графов техника вывода подобных формул несложна и может быть взята, например, из работы [14]. Под степенью верши­ны в данном случае понимается число ребер, инцидентных вершине. Для РКС степень вершины совпадает со связностью. РКС описывает широкий диапазон структур, начи­ная с нуль-графа (НГ), представляющего собой множество изолированных точек, и кончая полносвязной сетью (ПСС) (табл. 2).

В последней графе табл. 4 приведены значения n, при ко­торых структурные параметры имеют отображение в граф. Индексы i и j могут принимать значения 1, 2, 3, ...

Согласно определению контурно R-разделимого графа для подсетей отдельных ступеней иерархии возможен любой из вышеперечисленных. способов организации, а для межуровневых — в основном радиальный. Используя базовые то­пологии в различных сочетаниях, можно комплексировать более сложные конфигурации, различающиеся числом ступеней иерархии. Выделяется четыре класса иерархических структур.

1. Корневые иерархические деревья (комбинации PC и НГ) (рис.6.5).

2. Бескорневые иерархические деревья (комбинации КСС, PC и НГ) (рис. 6.6).

3. Многопетлевые иерархические структуры (комбинации ПС) (рис. 6.7).

Рис. 6.3. Радиально-узловая структура

4. Радиально-узловые структуры (см. рис. 6.3).

Наиболее эффективной в вычислительном плане представ­ляется иерархическая структура, скомплексированная из РКС и PC. Поскольку в процессе оптимизации варьируются число ступеней иерархии R, число узлов n_r на r-й ступени, локальная степень k_r, вершины r-й ступени, РКС имеет спо­собность трансформироваться в другие структуры.

Сделаем ряд замечаний относительно связности иерархи­ческих структур. Вершина r-й ступени иерархии имеет k_r бли­жайших соседей в данной подсети r-й ступени иерархии, что для структур типа РКС гарантирует наличие k_r непересекаю­щихся по вершинам путей. Помимо этого, рассматриваемая вершина соединена еще с n_r-1/n_r вершинами нижележащей ступени и одной вершиной (r+l)-й ступени иерархии. Устра­нение последней приводит к распадению иерархической структуры на две несвязные компоненты, что определяет та­кую структуру как односвязную. k-Связность иерархической структуры в целом обеспечивается наличием не только k не­пересекающихся по вершинам путей внутри данной подсети, но и не менее чем k точками привязки вершин данной подсети к УК подсети вышестоящей ступени иерархии.

В большой сети количество элементов нижних ступеней иерархии настолько велико, что, отдельный ОП, канал, Кц, их местополЬжение не оказывают существенного влияния насетевые характеристики. Поэтому на первоначальных этапах проектирования вместо точной географии ОП ограничиваются усредненными характеристиками, такими, как плотность раз­мещения ОП, средняя длина канала и т.п. [21, 41].

Рис. 6.4. Базовые структуры

Средняя длина l КС базовых структур (табл. 6.3) получе­на при условии равномерного размещения вершин графа внут­ри прямоугольника со сторонами (рис. 6.8). Перемен­ной n обозначено число оконечных пунктов в одном горизон­тальном ряду, n — в вертикальном. Формулы I для PC пред­полагают выполнение условия . Чтобы воспользовать­ся формулами для других аппроксимаций территории сети, необходимо значение l умножить на коэффициент компактности территории k .

Предложенные топологическая и географические модели применимы и в тех случаях, когда регионы сети различаются абонентской плотностью, однако внутри регионов плотность постоянна.

Таблица 6.1

Тип структуры	Диаметр графа d		Степень вершины k	Средняя длина маршрута	Допустимое значение n
РС	1		N	1	i+1
КСС	n-1		2(1-1/n)	(n+1)/3	i+1
ПС	(n-1)/2		2	(n+1)/4	2i+1
	N/2			0/25n/(n-1)	2(I+1)
РШ	n		4(1-1/ )		(i+1)(j+1)
РКС	(n-1)/k, k=2, n-1	0.5((n/k-1)+1), k=3,n-2	2<k<n-2		(2i+1)(k-1)
	n/2(k-1), k=2,3,n-1	n/2(k-1)+1, k=4,n-2	3<k<n-1		2i(k-1)

При комплексировании иерархической ЦСИО из РКС и PC (см. рис. 6.3) подвектор структурных параметров прини­мает вид

(6.1)

Таблица 6.2

Тип структуры	Численныезначения структурных параметров
	Число вершин	Степень вершин
Нуль граф	>1	0
Звено	=2	1
Кольцевая сеть	>3	2
Равномерно трехсвязная сеть	>6	3
Равномерно четырехсвязная сеть	>6	4
Полносвязная сеть	n	n-1

Подсистема ТО как компонента САУЭ предназначена для проведения контрольных, профилактических и восстанови­тельных работ и состоит из нескольких ЦТО (см. рис. 6.3). ЦТО образуют собственную иерархию, например, ЦТО—Кд, ЦТО—УК и V. д. и в общем случае включают в свой состав обслуживающий персонал, транспортные средства, склад запасных элементов, ремонтное и контрольно-профилактическое оборудование.

Рис. 6.5. Корневое иерархическое дерево

При расчете подсистемы ТО вместо обслуживаемых Кц, УК, КС и т. п. в качестве обслуживаемой единицы принято выбирать функционально или конструктивно законченные части (шкафы, блоки, модули и т.п.). Для расчета эффек­тивности ТО может быть использована модель. Входные параметры модели: число обслуживаемых единиц n оборудования, их коэффициент готовности (паспортное значение) kr, число ЦТО s. Выходной параметр — вероятность обслужива­ния очередного устройства без ожидания k_эо [83]. Процесс ТО формализуется марковской моделью замкнутой СМО типа M/M/s с ожиданием, согласно которой процедура обслужива­ния сводится к следующему. Отказавшие устройства обра­зуют входящий поток требований в подсистему ТО, все s ЦТО которой равнодоступны. Обслуживание очередного уст­ройства производится первым освободившимся ЦТО.

Рис. 6.6. Бескорневое иерархическое дерево

Рис.6.7. Многопетлевая иерархическая структура

После восстановления устройство возвращается в эксплуатацию. Рассматривается установившийся режим функционирования, для которого

(6.2)

где pi — вероятность того, что в подсистеме ТО находится i неисправных устройств,

(6.3.)

Для нахождения последовательности {pi}, 1 = 0, п, пред­лагается алгоритмическая модель СМО, в которой исходное выражение (4.7) заменяется рекуррентным соотношением

(6.4)

Согласно (6.4), следует провести два цикла рекуррентных вычислений: в начале фиктивной последовательности {</_,•} от некоторой стартовой точки c номером , а затем {pi}. При этом используется условие нормировки ;=1.

Рис.6.8. География сети на макромоделе

Исходя из соображений точности вычислений, следует задавать номер ,

Таблица 6.3

Форма территории	Коэффициент
Круг	0,985
Правильный шестиугольник	0,99
Квадрат, прямоугольник	1,00
Эллипс, с соотношением осей 2:1	1,07
Правильный треугольник	1,17

соответствующий максимальному члену из {pi}. Номер последнего может быть приближенно вычислен из условия

(6.5)

'Теоретическая оценка вычислительной сложности подоб­ного алгоритма составляет величину O(n). Ускорение рабо­ты может быть достигнуто, если:

прекращать вычисление p , начиная с которого ( — некоторая наперед заданная точность);

вычисление рk и kэо производить одновременно с накоплением сумм .

Очевидно, что при n>s будет возникать задержка в об­служивании, вызванная отсутствием свободных ЦТО. Этот факт учитывается пересчетом готовности оборудования k'r = = kэоkг, k'г — значение коэффициента готовности с учетом ожидания начала ТО. При n = s kэo=1, т.е. подсистема ТО не вносит дополнительных задержек в процесс ТО. Это соответ­ствует режиму идеального ТО.

Среднее время простоя одного средства в ожидании нача­ла ремонта на месте [11]

(6.6)

где с, d — интенсивность исправной работы и восстановления соответственно.

При централизованном ремонте по сравнению с децентра­лизованным среднее время простоя, с одной стороны, умень­шается, так как производительность центральных мастерских выше производительности ремонтников на местах, с другой — увеличивается, что связано с перевозкой средств (ремонтных бригад).

Коэффициенты простоя одного ремонтируемого средства и одного ЦТО равны соответственно 1—kэо и

(6.7)

Если s имеет смысл числа ремонтников, то (6.7) дает воз­можность нахождения вероятности простоя ремонтного рабо­чего.

Таким образом, подвектор управляемых переменных, опи­сывающий подсистему ТО, равен

(6.8)