- •Тема 1. Вероятностные пространства 30
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний 60
- •Тема 3. Случайные величины 87
- •Тема 4. Математическая статистика 140
- •Введение Место теории вероятностей и математической статистики в современной математической науке и их роль в экономических исследованиях
- •Особенности изучения теории вероятностей и математической статистики менеджером
- •Краткие сведения
- •Тема 1. Вероятностные пространства Лекция 1. Пространство случайных событий
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Случайные события
- •Понятие случайного эксперимента
- •Пространство элементарных событий
- •Наступление события, благоприятствующие исходы
- •Совместные (совместимые), несовместные (несовместимые) события
- •Достоверное и невозможное события
- •Алгебра событий Операции над событиями (сумма, разность, произведение)
- •Свойства операций над событиями
- •Алгебра и сигма-алгебра событий
- •Общее определение вероятности
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов
- •Геометрические вероятности
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •, Т.Е. Вероятность достоверного события равна единице;
- •Вероятность события , заключающееся в том, что наступит одно из попарно несовместных событий ( ), составляет
- •Полная группа событий
- •Условная вероятность
- •Формула умножения вероятностей
- •Формула сложения вероятностей
- •Независимость событий
- •Простейшие свойства вероятностей
- •Свойства условных вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Контрольные вопросы к теме №1
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний Лекция 2. Основные формулы вычисления вероятностей
- •Классическая вероятностная схема
- •Правила суммы и произведения
- •Схемы выбора. Основные понятия комбинаторики
- •Выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Выбор без возвращения, без учета порядка
- •Выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Выбор с возвращением и без учета порядка
- •Урновая схема
- •Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •Локальная теорема Муавра–Лапласа
- •Интегральная теорема Муавра – Лапласа
- •Теорема Пуассона
- •Понятие потока событий
- •Полиномиальная схема
- •Понятие цепи Маркова
- •Однородные цепи Маркова
- •Равенство Маркова
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Тема 3. Случайные величины Лекция 3. Одномерные случайные величины
- •Непрерывные и дискретные случайные величины
- •Закон распределения случайной величины
- •Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •Свойства функции распределения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства
- •Среднеквадратическое отклонение
- •Начальные и центральные моменты
- •Основные примеры распределений дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения вероятностей
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные примеры распределений непрерывной случайной величины Равномерное распределение
- •Показательное распределение
- •Нормальное распределение
- •Свойства функции Гаусса
- •Центральная предельная теорема
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
- •Функция Лапласа и ее свойства
- •Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило «трех сигм»
- •Лекция 4. Многомерные случайные величины
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Совместная функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства совместной функции распределения двумерной случайной величины
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Условное математическое ожидание
- •Независимые случайные величины
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов
- •Распределение 2
- •Распределение Стьюдента
- •Распределение Фишера
- •Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Тема 4. Математическая статистика Лекция 5. Основы математической статистики
- •Выборочный метод и его основные понятия
- •Способы отбора
- •Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
- •Полигон и гистограмма
- •Эмпирическая функция распределения и ее свойства
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок
- •Выборочные среднее и дисперсия
- •Надежность и доверительный интервал
- •Определение доверительных интервалов Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •Проверка статистических гипотез
- •Статистический критерий
- •Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
- •Критерий согласия Пирсона о виде распределения
- •Элементы теории корреляции
- •Выборочные уравнения регрессии
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Логарифмическая модель
- •Обратная модель
- •Степенная модель
- •Показательная модель
- •Цепи Маркова Цепи Маркова с дискретным временем
- •Однородные цепи Маркова
- •Переходные вероятности. Матрица перехода
- •Равенство Маркова
- •Цепи Маркова с непрерывным временем
- •Уравнения Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Технический редактор т.В. Жибуль
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Свойства операций над событиями
Поскольку случайные события рассматриваются как множества, определенные на пространстве элементарных исходов , очевидно, что алгебраические свойства случайных событий вытекают из соответствующих свойств множеств:
|
|
Приведенный список не исчерпывает всех свойств операций над событиями. В то же время из него видно, что основные действия над событиями, в частности, операции сложения (объединения) и умножения (пересечения), в определенном смысле аналогичны сложению и умножению чисел. Эти операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Для операции умножения событий роль, аналогичную роли единицы и нуля при умножении чисел, выполняют, соответственно, множества и . Вместе с тем, теоретико–множественные равенства 6, 6 и им подобные показывают, что полной аналогии нет.
Алгебра и сигма-алгебра событий
В случае конечной или счетной теоретико-вероятностной схемы в качестве события рассматривается любое подмножество конечного или счетного пространства элементарных событий . Если же пространство непрерывно, то имеет место континуум элементарных исходов. Попытка считать событием любое подмножество непрерывного пространства сопряжена с большими трудностями.
Поэтому в общем случае приходится иметь дело не со всеми подмножествами пространства , а лишь с определенным классом, замкнутым относительно операций суммы, произведения и дополнения.
Предположим, что является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует ровно одна точка из , а разным результатам соответствуют разные точки. Выделим некоторую совокупность случайных событий , определенных на пространстве элементарных исходов . Другими словами, выделим совокупность подмножеств множества . Причем, наложим условие, что содержит как случайные события , так и события, полученные в результате применения любой из описанных операций к любым элементам системы.
Совокупность случайных событий , определенных на пространстве элементарных исходов , называется алгеброй или булевой алгеброй – по имени английского математика Дж. Буля (1815 – 1864), если выполнены следующие условия:
(алгебра событий содержит достоверное событие);
Если , то для любых (вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит и их сумму);
Если , то (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие).
Можно показать, в частности, что: , если и , то:
;
.
Другими словами, оказывается, что условий 1 – 3 достаточно для того, чтобы любое конечное число других операций над случайными событиями не выводило бы нас за пределы алгебры . Таким образом, алгебра множеств – это система подмножеств некоторого множества , замкнутая относительно операций суммы (объединения), произведения (пересечения) и дополнения.
Очевидно, что одно и то же множество порождает различные алгебры. Самая «бедная» алгебра состоит из двух множеств – пустого множества и множества :
.
В понятиях теории вероятностей это соответствует невозможному и достоверному событиям. Любое подмножество порождает четырехэлементную алгебру:
Для экспериментов с конечным числом исходов множество–степень множества , т.е. совокупность всех подмножеств , включающая пустое множество , составляет алгебру , причем это самая «богатая» алгебра, порождаемая множеством . Поэтому для таких экспериментов любое подмножество множества может интерпретироваться как наблюдаемое событие, а все события, связанные с пространством элементарных исходов , образуют алгебру наблюдаемых случайных событий.
Под наблюдаемым событием понимается такое подмножество множества , которое одновременно принадлежит и булевой алгебре . Таким образом, класс наблюдаемых в данном эксперименте событий, вообще говоря, ỳже класса всех подмножеств множества . Если, например, , но , то событие по определению не наблюдаемо в данном эксперименте. Такое определение наблюдаемого события согласуется с введенным ранее эмпирическим понятием случайного события, как наблюдаемого результата эксперимента.
При рассмотрении многих задач теории вероятностей приходится иметь дело и с бесконечным числом операций. Для того, чтобы можно было рассматривать бесконечное число операций над событиями, необходимо усилить ограничения, налагаемые на алгебру .
Система подмножеств множества , называется -алгеброй, а соответствующее множество событий борелевским, если она удовлетворяет следующим условиям:
(–алгебра событий содержит достоверное событие);
Если , то для любых (вместе с любым конечным или счетным набором событий –алгебра содержит и их сумму);
Если , то (вместе с любым событием –алгебра содержит противоположное событие).
Условие 2 для алгебры является следствием условия 2 для –алгебры, поэтому требования для –алгебры более сильные.
Используя условие 3 и равенство , легко убедиться в справедливости следующего утверждения.
Пусть – –алгебра. Тогда, если , то для любых .
Таким образом, счетное число операций суммирования или перемножения событий не выводит за пределы –алгебры.
Вообще говоря, действия над событиями важны не сами по себе, а как средство определения вероятностей одних событий через вероятности других событий. Далее будет введена вероятность случайного события как функция, заданная на подмножествах пространства . Прежде, чем определять эту функцию, следует задать область определения этой функции. Поскольку эта функция задается для всех наблюдаемых событий, связанных с пространством элементарных исходов , то функция должна быть определена на системе подмножеств пространства , которая является –алгеброй. Поэтому разумно поставить следующее условие: если известны вероятности событий и , то должны быть определены правила вычисления вероятностей событий , , а также вероятности противоположных событий и .