- •Содержание
- •1. Множества 10
- •2. Математическая логика 39
- •3. Теория графов 96
- •Тема 1. Множества 168
- •Тема 2. Математическая логика 169
- •Тема 3. Теория графов 171
- •Множества
- •1.1. Операции над множествами. Мощность множеств. Отображение множеств
- •Упражнение 1.1.1
- •Упражнение 1.1.2
- •1.2. Отношения на множествах
- •Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
- •Математическая логика
- •2.1. Алгебра высказываний
- •Логические операции
- •Функции алгебры высказываний
- •2.2. Проблемы разрешимости. Нормальные формы Логические отношения
- •2. Отношение эквивалентности.
- •3. Несовместимость.
- •Проверка правильности рассуждений
- •Нормальные формы формул алгебры высказываний
- •Совершенные нормальные формы
- •Построение формулы алгебры высказываний по заданной логической функции
- •Моделирование алгебры высказываний с помощью релейно-контактных схем
- •2.3. Исчисление высказываний Символы, формулы, аксиомы исчисления высказываний. Правила вывода
- •Теорема дедукции
- •Проблемы непротиворечивости, полноты, независимости аксиом исчисления высказываний
- •2.4. Логика предикатов
- •Кванторы
- •Кванторы как обобщение логических связок.
- •Отрицание кванторных предикатов
- •Теория графов
- •3.1. Графы
- •Степень вершины графа. Число ребер графа
- •Связность
- •Эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы. Теоремы Эйлера
- •Изоморфизм графов
- •Планарность. Плоские графы
- •Числа, характеризующие граф
- •Операции над графами. Объединение графов
- •Пересечение (произведение) графов
- •Прямое произведение графов
- •Матрицы для графов
- •Матрица инциденций
- •Матрицы достижимостей и контрадостижимостей
- •3.2. Деревья
- •Постановка задачи
- •Алгоритм Краскала
- •3.3. Экстремальные задачи на графах Задача о кротчайшем пути между двумя вершинами ориентированного графа и ее экономическая интерпретация
- •Алгоритм
- •Сети. Отношение порядка между вершинами ориентированного графа
- •Задача о пути максимальной длины между двумя вершинами ориентированного графа в сетевом планировании
- •Алгоритм
- •Сетевое планирование. Скорейшее время завершения проекта
- •Контрольное задание №1
- •Контрольное задание №2
- •Контрольное задание №3
- •Контрольное задание №4
- •Контрольное задание №5
- •Контрольное задание №6
- •Контрольное задание №7
- •Контрольное задание №8
- •Контрольное задание №9
- •Контрольное задание №10
- •Контрольное задание №11
- •Контрольное задание №12.
- •Контрольное задание №13.
- •Контрольное задание №14.
- •Контрольное задание №15
- •С писок рекомендуемой литературы
- •Интернет-ресурсы
- •Тема 2. Математическая логика
- •Тема 3. Теория графов
Построение формулы алгебры высказываний по заданной логической функции
Рассмотрим задачу, обратную той, о которой шла речь в разделах 2.1, 2.2 – построение функции для некоторой формулы алгебры высказываний. Задана некоторая функция f(x1, x2, ... xn), нужно построить для нее формулу S. Задача эта неоднозначна, существует множество равносильных между собой формул, соответствующих этой функции. Будем строить совершенную нормальную форму. При этом учтем, что полная элементарная дизъюнкция имеет единственный ноль, а полная элементарная конъюнкция – единственную единицу. Решение задачи рассмотрим на примере.
Таблица 2.3.1
x |
y |
z |
f |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Пусть задана некоторая функция трех аргументов f(1,1,1)=f(1,0,0)=f(0,1,0)=1. Это значит, что на наборах (1,1,1), (1,0,0), (0,1,0) функция принимает значение 1, а на остальных наборах – 0.
Построим S в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы. Так как S не тождественно ложна, это можно сделать. СДНФ состоит из стольких слагаемых, сколько единиц содержит функция. Первому значению 1 соответствует слагаемое xyz, принимающее значение 1 при х=1, y=1, z=1. Второму значению 1 соответствует слагаемое , принимающее значение 1 при х=1, y=0, z=0. Аналогично третье слагаемое, соответствующее 1, стоящей в шестой строке таблицы f, есть . Следовательно, . Итак:
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма содержит столько слагаемых, сколько единиц имеет функция.
Эти единицы соответствуют тем наборам переменных, при которых каждое слагаемое (элементарная конъюнкция) обращается в единицу, т.е. переменным, входящим в элементарную конъюнкцию без знака отрицания, соответствует значение 1, а со знаком отрицания – 0.
Чтобы написать СКНФ по заданной функции, нужно выбрать все значения 0, встречающиеся в ней, и рассмотреть наборы значений переменных, отвечающие этим нулям. В заданном примере таблица содержит пять нулей. Первому значению 0 отвечает сомножитель , обращающийся в 0 при х=1, y=1, z=0. Второму – при х=1, y=0, z=1 и т.д. В результате получим
Итак:
СДНФ содержит столько сомножителей, сколько нулей имеет истинностная таблица.
Эти нули соответствуют тем наборам переменных, при которых каждый сомножитель (каждая элементарная сумма) обращается в 0, т.е. переменным, входящим в элементарную сумму без знака отрицания, соответствует значение 0, а со знаком отрицания – 1.
Заметим, что, используя список основных равносильных формул, полученные выражения для S упрощают, если это возможно.