23. Изоморфизм колец. Гомоморфизм колец
Кольца
и
называются изоморфными, если можно
установить такое отображение
,
при котором для
и
.
Задача 72. Доказать, что кольцо вещественных квадратных матриц
-го
порядка изоморфно кольцу линейных
операторов
-мерного
линейного пространства
относительно фиксированного базиса
.
Решение. Пусть
–
кольцо квадратных матриц
-го
порядка с вещественными элементами,
–
кольцо линейных операторов
-мерного
пространства
над полем
.
Возьмем произвольный линейный оператор
и рассмотрим его матрицу
относительно базиса
:
|
где
|
|
|
|
|
,
–
координатный столбец вектора
в базисе
,
–
координатный
столбец вектора
в базисе
,
–
координатный
столбец вектора
в базисе
.
Так как координаты
вектора в заданном базисе определяются
однозначно, то для оператора
в базисе
матрица
определена однозначно.
Обратно, пусть дана произвольная матрица
.
Можно ли считать
ее матрицей некоторого оператора
в базисе
и есть ли еще оператор
,
для которого матрицей в базисе
будет та же матрица
?
Построим векторы
,
,
….,
.
Существует линейный оператор
такой, что
,
,…,
.
Это оператор
.
.
Этот оператор линейный, так как
и
,
где
,
.
Этот оператор
имеет своей матрицей в базисе
матрицу