Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определённый интеграл: , где – плотность вероятности случайной величины .

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси , то

.

Все свойства математического ожидания дискретной случайной величины имеют силу и для непрерывной случайной величины.

Дисперсия

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

.

Отсюда следует, что если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , то дисперсия . С учётом того, что для вычисления дисперсии справедлива формула , то .

Если возможные значения принадлежат всей оси , то или .

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и дискретной случайной величины: .

Пример 2. Случайная величина задана интегральной функцией распределения . Требуется:

1. убедиться, что заданная функция является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства .

В случае положительного ответа найдите:

2. дифференциальную функцию ;

3. математическое ожидание случайной величины ; дисперсию случайной величины (двумя способами) и среднее квадратическое отклонение; постройте графики интегральной и дифференциальной функций;

4. вероятность попадания величины в интервал ( ) двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции), а затем проиллюстрируйте этот результат на графиках и .

, .

Решение:

1) Если функция является функцией распределения и если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то , если , , если . Проверим это. По условию , тогда . Таким образом, заданная функция является функцией распределения;

2) Дифференциальной функцией распределения называется производная от интегральной функции: .

Следовательно, получаем:

.

3) Для вычисления числовых характеристик случайной величины воспользуемся формулами:

– , где – плотность вероятности случайной величины и если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку ;

– , если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку ;

– .

Вычисляем: ;

; ;

4) Вычислим вероятность попадания величины в интервал ( ), используя интегральную функцию : вероятности попадания случайной величины в интервал вычислим по формуле . В данном случае , следовательно ; дифференциальную функцию : .

В данном случае , т.к. , если .

6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой:

,

где – математическое ожидание,

– среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Закон Гаусса имеет большое значение для практического применения по следующим причинам:

1. На практике многие случайные величины оказываются либо нормально распределёнными, либо с распределениями, близкими к нормальному.

2. Случайную величину, не распределённую нормально, часто можно преобразовать таким образом, чтобы она имела распределение, близкое к нормальному.

3. Нормальное распределение может служить аппроксимацией для других распределений, например, для биноминального распределения.

4. При проверке статистических гипотез часто возникают распределения, которые оказываются нормальными.

Вычисление вероятности при нормальном распределении

случайной величины

1. Вероятность попадания в интервал определяется формулой:

;

2. Вероятность попадания в интервал находим по формуле:

, или ;

3. Вероятность попадания в интервал находим по формуле:

или ;

4. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа равна , где – функция Лапласа, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

Пример 3. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием . Вероятность попадания в интервал равна 0,2. Чему равна вероятность попадания в интервал (35;40)?

Решение:

1) По известной вероятности попадания в заданный интервал найдем среднее квадратическое отклонение . Для этого воспользуемся формулой . Согласно условию , , т.е.

или , или

, или .

По таблице значений функции находим, что , если , следовательно, .

1. Вероятность попадания в интервал (35;40) найдем, используя ту же формулу, тогда

По таблице значений функции находим, что , а вероятность .

Упражнения:

Задание 1 .Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: x₁ и x₂, причем x₁< x₂ . Известны вероятность р₁ возможного значения x₁ , математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной величины.

Номер задачи	р1	М(Х)	D(X)
1	0,1	3,9	0,09
2	0,3	3,7	0,21
3	0,5	3,5	0,25

Задание 2. Задан закон распределения дискретной случайной величины . Найти: а) неизвестную вероятность; б) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение  ; в) составить функцию распределения случайной величины и построить ее график; г) вычислить вероятности попадания случайной величины в интервал , пользуясь составленной функцией распределения .

1)

	10	12	20	25	30
	0,1		0,1	0,2	0,4

2)

	10	12	14	16	18
	0,2	0,3	0,1		0,2

3)

	30	40	50	60	70
		0,2	0,2	0,3	0,1

4)

	2	4	6	8	10
	0,2	0,3	0,1	0,2

Задание 3. Случайная величина задана интегральной функцией распределения . Требуется убедиться, что заданная функция является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства . В случае положительного ответа найдите: а) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание случайной величины ; c) дисперсию случайной величины и среднее квадратическое отклонение; d) построить графики интегральной и дифференциальной f(x) функций.

1) 2)

3) 4)

Задание 4.

1) Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале .

2) В нормальном законе распределения математическое ожидание равно 50, среднеквадратическое отклонение равно 4. Чему равно , если вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше , равна 0.28.

3) Автомат штампует детали. Контролируется длина детали , которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а)больше 55 мм; б) меньше 40 мм.