- •I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду)
- •Линейные уравнения. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка.
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского.
- •4. Необходимое и достаточное условие линейной независимости системы решений линейного однородного уравнения.
- •5. Фундаментальная система решений (фср) линейного однородного уравнения. Теорема о существовании фср.
- •6. Теорема о представлении общего решения линейного однородного уравнения.
- •7. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
- •II. Системы оду.
- •8. Системы уравнений в нормальной форме. Задача Коши. Теорема о решения задачи Коши для системы в нормальной форме.
- •9. Линейные системы. Теорема о решения задачи Коши для линейной системы.
- •10. Линейно зависимые и линейно независимые системы вектор-функций. Определитель Вронского.
- •11. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейной од-нородной системы уравнений.
- •12. Фср для системы линейных уравнений. Теорема о существовании фср.
- •13.Теорема о представлении общего решения линейной однородной системы.
- •14.Структура общего решения линейной неоднородной системы.
- •III. Автономные систему оду
- •16. Фазовое пространство и фазовые траектории автономной системы.
- •17. Первые интегралы однородной системы. Достаточное условие первого интеграла. Теорема о существовании независимых первых интегралов.
- •18. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость положения равновесия автономной системы. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия линейной системы.
- •19. Линеризация нелинейной системы в окрестности положения равновесия. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия нелинейной системы.
- •20. Фазовые портреты линейных однородных систем с постоянными коэффициентами на плоскости: случаи узла, седла, фокуса и центра.
- •21. Фазовые портреты нелинейных систем. Исследование положения равновесия нелинейной системы на плоскости по линейному приближению. Предельные циклы.
- •22. Фазовая плоскость оду 2-го порядка. Пример: математический маятник.
- •23. Линейные и квазилинейные учп 1-го порядка. Представление общего решения через первые интегралы системы уравнений характеристик.
7. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
Неоднородное уравнение:
(1)
Однородное уравнение:
(2)
Если – фундаментальная система решений (ФСР) однородного уравнения (2), то решение уравнения (1) можно искать в виде:
,
где функции подлежат определению.
II. Системы оду.
8. Системы уравнений в нормальной форме. Задача Коши. Теорема о решения задачи Коши для системы в нормальной форме.
Система ОДУ в нормальной форме:
(1)
где ,
Начальное условие (НУ):
(2)
где , – заданные числа
(1)’
(2)’
Задача Коши: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию (2).
Теорема: Пусть функции и их производные непрерывны в некоторой области . Тогда для точки решение задачи Коши (1)(2) существует и единственно в некоторой окрестности точки .
9. Линейные системы. Теорема о решения задачи Коши для линейной системы.
Линейная система:
(1)
где , , – квадратная матрица порядка
Начальное условие (НУ):
(2)
где , – заданные числа
Задача Коши: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию (2).
Теорема: Пусть непрерывны на интервале . Тогда для и решение задачи Коши (1)(2) существует и единственно на .
10. Линейно зависимые и линейно независимые системы вектор-функций. Определитель Вронского.
Вектор функции - называется линейно зависимыми, если существуют числа , такие что , что . Если (4) возможно только при , то - линейно независимы.
Пусть k=n. Тогда (4) (5’)
Определитель Вронского:
11. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейной од-нородной системы уравнений.
Теорема. Решения однородной системы линейно независимы на
Доказательство:
Пусть Тогда в силу леммы ( если существует то – линейно независимы) следует – линейно независимы.
Пусть решения – линейно независимы . Тогда пусть (от противного) существует . Тогда система при имеет ненулевое решение .
Рассмотрим функцию
а) решение системы
б)
По теореме существования единственности это решение совпадает с решением , т.е.
, т.е. - линейно зависимы – это противоречие!!! => .
Следствие: Если в некоторой точке , то решения – линейно независимы и .
12. Фср для системы линейных уравнений. Теорема о существовании фср.
Любые n линейно независимые решения системы называются фундаментальной системой решений (ФСР).
Теорема. ФСР существует.
Доказательство:
Пусть существует единственная матрица порядка n, - её столбцы. Пусть – некоторая точка. Найдем решение системы с начальными условиями: (сущ. по Т ), т.е. => - линейно независимы, т.е. образуют ФСР системы.
13.Теорема о представлении общего решения линейной однородной системы.
Tеорема : Общее решение системы (1) имеет вид : ,
где – общее решение однородного уравнения (2),
– частное решение однородной системы.
Док-во:
Пусть – некоторое решение системы (1).
Замена:
Система (1): ,): –однородная система (2) => –общее решение однородной системы, ч.т.д., т.е. ч.т.д.