- •Кафедра высшей и прикладной математики
- •Губкин 2009
- •Под редакцией в. В. Крутских
- •Справочный материал
- •1. Алгебра
- •1.1.Теория множеств
- •1.2. Действительные числа
- •1.3. Действия с дробями
- •1.4. Пропорция
- •1.5. Проценты
- •1.5. Погрешность вычислений
- •1.11. Определение логарифма
- •1.13. Свойства логарифмов
- •1.14. Логарифмирование и потенцирование
- •1.15. Теория многочленов
- •1.16. Выделение целой части из дроби
- •2. Алгебраические уравнения
- •2.1. Линейные уравнения
- •2.2. Квадратные уравнения
- •2.3. Выделение полного квадрата из квадратного трехчлена
- •2.4. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители
- •2.6. График квадратной функции
- •2.7. Рациональные уравнения
- •2.8. Уравнения с модулем
- •2.9. Кубические уравнения
- •2.9. Показательные уравнения
- •2.10. Логарифмические уравнения
- •3. Алгебраические неравенства
- •3.1. Линейные неравенства
- •3.2. Квадратные неравенства
- •Рациональные неравенства
- •3.5. Показательные неравенства
- •3.6. Логарифмические неравенства
- •3.7. Правила нахождения области определения и множества значений функции
- •4. Тригонометрия
- •5. Планиметрия
- •Треугольники
- •5.1. Косоугольный треугольник
- •5.3 Равнобедренный треугольник
- •Многоугольники
- •Четырехугольники
- •5.4. Параллелограмм
- •5.5. Прямоугольник
- •5.7. Квадрат
- •5.8. Трапеция
- •5.9. Окружность и круг
- •6. Стереометрия
- •Пирамида
- •Цилиндр
- •Сфера и шар
1.2. Действительные числа
10. Множество чисел называется множеством натуральных чисел.
На множестве натуральных чисел введены операции: сложение, умножение и возведение в натуральную степень.
20. Множество целых чисел .
На множестве целых чисел введены операции: сложение, вычитание, умножение и возведение в натуральную степень.
30. Множество рациональных чисел есть множество чисел вида , где , то есть .
Рациональными числами являются числа:
На множестве рациональных чисел введены операции: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень.
40. Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, называется неправильной. Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной.
Например, дроби — правильные, а дроби — неправильные.
Если дробь неправильная, то ее можно представить в виде суммы целого числа и дроби, то есть смешанным числом. Дробь — неправильная. (остаток 3). Поэтому .
50. Множество рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел .
На множестве действительных чисел введены операции: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в рациональную степень.
Примеры иррациональных чисел: .
Стандартный вид положительного действительного числа. Любое положительное число а можно представить в виде где , а n- целое число, называется порядком числа.
Например, ; .
Для того чтобы положительное число а представить в стандартном виде, нужно поставить запятую так, чтобы в целой части оказалась одна значащая цифра, и умножить полученное число на так, чтобы в результате умножения запятая вернулась на то место, которое она занимала в числе а.
1.3. Действия с дробями
Основное свойство дроби. Величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и тоже число.
На этом свойстве основано:
1) сокращение дробей. Чтобы сократить дробь, нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на одно и тоже число. Например,
; .
2) приведение к общему знаменателю дробей при их сложении или вычитании. Для этого находят наименьшее общее кратное знаменателей дробей, то есть наименьшее число, которое делится на каждый знаменатель. Затем вычисляют дополнительный множитель к каждой дроби, то есть множитель, на который нужно умножить ее числитель и знаменатель, чтобы ее знаменатель стал общим для всех дробей. В результате получаем дробь с общим знаменателем, а числители дробей умножаем на дополнительные множители и складываем или вычитаем. Например,
.
Умножение дробей. При умножении дробей перемножают отдельно числители дробей, отдельно знаменатели; первое произведение является числителем, а второе знаменателем произведения:
Например,
|
|
|
Деление дробей
Деление дробей можно заменить умножением первой дроби на дробь, обратную (перевернутую) второй.
.
Например,
1) |
2) |
3) |
4) |