2. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.
1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием два
Рассмотрим два способа перевода числа из десятичной системы в другую на примере системы с основанием 2.
1). Способ разложения числа по степеням основания рассмотрим на примере перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную. Для этого способа необходимо знать таблицу степеней числа 2:
22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32 , 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 =512, 210 = 1024,…
Переведем число 56710 в двоичную систему. Определим максимальную степень двойки, такую, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В нашем случае это 9, так как 29=512, а 210=1024, что больше начального числа. Таким образом, мы получим число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Найдем вторую цифру результата. Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 567–29=55. Остаток сравним с числом 28=256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд будет нулем, т. е. результат примет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 27=128>55, то и он будет нулевым.
Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 25=32<55, поэтому шестой разряд равен 1 (результат 10001ххххх). Для остатка 55–32=23 справедливо неравенство 24=16<23, что означает равенство единице пятого разряда. Действуя аналогично, получаем в результате число 10001101112. Исходное число мы разложили по степеням двойки:
567=1*29+0*28+0*27+0*26+1*25+1*24+0*23+1*22 +1*21+1*20
2). Способ деления на основание требуемой системы счисления является универсальным. Рассмотрим то же самое число 567. Разделив его на 2, получим частное 283 и остаток 1. Проведем ту же самую операцию с частным 283. Получим частное 141, остаток 1. Опять делим полученное частное на 2, и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь для того, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, то есть 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.
Результат не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1000110111. Эти два способа применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием.
2. Перевод чисел из десятичной системы в систему счисления с основанием 16
Переведем число 567 в 16-ричную систему счисления.
1). Используем разложение числа по степеням основания. Искомое число будет состоять из трех цифр, т. к. 162 = 256 < 567 < 163 = 4096.
Определим цифру старшего разряда. 2*162=512<567<3*162=768, следовательно, искомое число имеет вид 2хх, где вместо х могут стоять любые шестнадцатеричные цифры. Остается распределить по следующим разрядам число 55 (567‑512). 3*16=48<55<4*16=64, значит, во втором разряде находится цифра 3. Последняя цифра равна 7 (55‑48). Искомое шестнадцатеричное число равно 237.
2) Способ последовательного деления на основание требуемой системы счисления приведет к тому же результату. Процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16. Необходимо заменять 10 на A, 11 на B и так далее.
3. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему
В основе этого метода находится правило, что любое десятичное число можно представить в виде
x = a0*pn + a1*pn-1 + ... + an-1*p1 + an*p0,
где a0 ... an –это цифры данного числа в системе счисления с основанием p.
Пример.
Переведем число 4A3F16 в десятичную систему.
По определению,
4A3F= 4*163+A*162+3*16+F.
Заменив A на 10, а F на 15, получим 4*163+10*162+3*16+15= 1900710.
4. Перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот
Проще всего осуществляется перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2n, нужно число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой. Если в левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов. Рассмотреть каждую группу, как n разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2n.
1). Перевод восьмеричных чисел в двоичную систему: следует каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр).
Пример.
573,18 =101 011 111 , 0012
5 3 7 1
2). Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой (четверкой цифр).
Пример.
1А3,F16 = 0001 1010 0011 , 11112
1 A 3 F
3). Перевод числа из двоичной системы в восьмеричную: разбить влево и вправо от запятой на триады, и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой.
10101001,101112 = 010 101 001 , 101 110 2 = 251,568
2 5 1 5 6
4). Перевод числа из двоичной системы в шестнадцатеричную: разбить влево и вправо от запятой на тетрады, и каждую тетраду заменить шестнадцатеричной цифрой.
Пример.
10101001,101112 = 1010 1001 , 1011 1000 2 = A9B816
A 9 B 8
5. Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в систему с другим основанием
Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Пример.
Перевести 0.312510 в восьмеричную систему счисления.
Результат: 0.312510 = 0.248
Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.
Пример.
Перевести 0.6510 в двоичную систему счисления с точностью 6 знаков.
Результат: 0.6510 
0.10(1001)2
6. Перевод неправильных десятичных дробей в систему счисления с другим основанием
Необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.
Пример.
Перевести 23.12510 в двоичную систему счисления.
1) Переведем целую часть: |
2) Переведем дробную часть: |
|
|
Таким образом: 2310 = 101112; 0.12510 = 0.0012.
Результат: 23.12510 = 10111.0012.
Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби ‑ дробями в любой системе счисления.
Упражнения раздела 2
2.1. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
-
1) 10110112;
6) 5178;
11) 1F16;
2) 101101112;
7) 10108;
12) ABC16;
3) 0111000012;
8) 12348;
13) 101016;
4) 0,10001102;
9) 0,348;
14) 0,А416;
5) 110100,112;
10) 123,418;
15) 1DE,C816.
2.2. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
1) 12510; 2) 22910; 3) 8810; 4) 37,2510; 5) 206,12510.
2.3. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
-
1) 1001111110111,01112;
4) 1011110011100,112;
2) 1110101011,10111012;
5) 10111,11111011112;
3) 10111001,1011001112;
6) 1100010101,110012.
2.4. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:
1) 2СE16; 2) 9F4016; 3) ABCDE16; 4) 1010,10116; 5) 1ABC,9D16.