- •Методические указания по дисциплине «Системный анализ»
- •Часть 1. Теория множеств.
- •Глава 1. Понятие множества и отношения
- •1.3. Включение
- •X í y и y í z влечет X í z;
- •1.4. Операции над множествами
- •Примеры
- •Упражнения
- •1.5. Алгебра множеств
- •Примеры
- •1.6. Отношения
- •1.7. Отношения эквивалентности
- •Упражнения
- •1.8. Функции
- •1.9. Композиция и обращение функций
- •§ 1.10. Отношения порядка
1.9. Композиция и обращение функций
Чтобы читателю был ясен смысл следующего определения, мы рассмотрим вначале один пример. Пусть функции f и g определены следующим образом:
f: R →R, причем f (х) = 2х +1;
g: R + → R +, п ричем g (х) = х½.
Хорошо известно, что из такой пары функций можно образовать новую функцию h, такую, что h(x)=g(f (x)). Поскольку область определения функции g по определению есть R+, то для того, чтобы h(x) было определено, значения х должны быть ограничены такими действительными числами, для которых 2x+1>0. Иными словами, комбинируя таким образом функции fug, мы получаем функцию, область определения которой есть множество действительных чисел больших, чем—½, и значение которой для аргумента х есть g (f (х)) = (2х+1)½.
Основная идея этого примера как раз и сохранена в следующем определении. Пользуясь обозначениями, введенными нами ранее для упорядоченных пар, мы сможем избавиться от ограничений, связанных с возможным различием между областью значений функции fи областью определения функции g. Композицией функций fug, символически обозначаемой через g o f, мы будем называть
{<x, z> | существует такое у, что xfy и ygz}.
Читателю предоставляется доказать, что это отношение является функцией. Сама описанная операция над функциями также называется (функциональной) композицией1. Стоит отметить следующий частный случай нашего определения. Если f:X→Y, a g:Y→Z, то gof:X→Z и (gof)(x)=g(f(x)).
Из приведенного только что примера видно, что операция функциональной композиции не коммутативна: равенство fog = gof редко бывает справедливым. Однако композиция — ассоциативная операция. Иначе говоря, для произвольных функций f, g, h
fo (goh)=(fog) oh
Чтобы доказать это, допустим, что <x, u>fo (goh). Тогда найдется такое z, что <x, z>goh и <z, u>f. Поскольку <x, zy>goh, существует такое у, что <x, y>h и <у, z>g. Но из <y, z>g и <z,u>f следует, что <у, u>fog. Наконец, из <х, y>h и <y, u>fog следует, что <'x, u> (fog)oh. Проведя все шаги этого рассуждения в обратном порядке, мы получим и противоположное включение, а следовательно, и нужное равенство.
1 Или суперпозицией; в оригинале для операции композиции и ее результата употребляются различные, хотя и похожие термины: соответственно, composition и composite.—Прим. перев.
Приведенное доказательство, возможно, станет более ясным для читателя, если он сформулирует его в терминах значений функций. В то же время наше доказательство, исходящее из приведенного выше определения функциональной композиции, обладает тем достоинством, что мы не обязаны принимать во внимание обстоятельства, связанные с различием между областью значений функции f и областью определения функции g. Из ассоциативного закона для композиции следует и обобщенный ассоциативный закон, который мы предоставляем сформулировать читателю. Единственная функция, определяемая посредством композиции функций f1, f2, ...., fn, взятых в этом порядке, будет в дальнейшем обозначаться просто через
f1of2o . . . ofn
Примеры А
1. Пусть h:R→R+, где h(х) = (1 + x2)½. Тогда h = gof, где f:R→R+, причем f(x)= 1 +х2, a g:R+→R+, причем g(x) — x½. Это как раз то разложение функции h, которым пользуются при вычислении ее производной.
2. Разложение произвольной функции можно провести и способом, несколько отличным от описанного в предыдущем примере, воспользо вавшись некоторыми уже обсуждавшимися нами понятиями. Введем прежде всего еще одно определение. Пусть р есть отношение эквива лентности с областью определения X; тогда отображение
j:Х→Х/ρ, где j(x) = [x],
принимает значения на фактормножестве Х/ ρ; j называется каноническим, или естественным отображением множества X на Х/р. Если, далее, f есть некоторое отображение X в Y, то отношение, определенное посредством
х1 ρ х2, если f(x1) = f(x2),
есть, очевидно, отношение эквивалентности на X. Пусть j — каноническое отображение множества X на Х/ ρ. Мы утверждаем, что равенство g[x] = f (x) определяет функцию g, определенную на Х/ρ со значениями в f [X] (область значений функции f). Чтобы доказать, что g является функцией, надо установить, что из [x] = [y] следует f(x) = f(y). Но [x]= [y] тогда и только тогда, когда хρу, что, в свою очередь, справедливо в том и только в том случае, когда f(x) = f(y). Следовательно, g есть функция. Пусть, наконец, i есть инъекция множества f[X] в Y.
Подведем итоги. Мы определили три функции j, g и i:
j:X→X/ρ, где j (х) = [х],
g:X/ ρ →f[X], где g[x]=f(x).
i:f[X] →Y, где i(y) = y.
Ясно, что функция j принимает значения на Х/ ρ, a i взаимно-однозначна. Предоставляем читателю убедиться в том, что g взаимно-однозначна и принимает значения на f[X] и что
f = iogoj.
Это равенство и было нашей целью. Из него следует существование разложения произвольной функции f; разложение это во многих случаях оказывается полезным.
3. Если f есть известная функция с областью определения X, область значений которой есть некоторое подмножество множества Y, то обозначение f:X→Y несет в себе избыточную информацию. Предполагается, однако, что рассмотрение f в качестве функции связано с парой <Х, У> множеств X и Y. Если g:Y→Z аналогичным образом связано с парой <У, Z>, то композиция gof должна быть связана с парой <Х, Z>. Связывание каждой функции f с парой множеств X и Y, из которых первое есть область определения функции f, а второе включает в себя ее область значений, и соглашение, согласно которому композиция gof функций f:X→Y и g:W →Z может быть образована лишь в случае W=Y, имеют определенные достоинства. Например, идя по этому пути, можно охарактеризовать свойство «принимать значения на» (наряду со свойством «взаимно-однозначно») как некоторое -свойство функций. Кроме того, можно определить оба эти свойства как, в некотором (поясняемом ниже) смысле, двойственные.
Характеристику свойства «взаимно-однозначно» можно дать следующим образом:
(I) Пусть f:X→Y. Тогда f взаимно-однозначна тогда и только тогда, когда для любых функций g и h таких, что g:Y→X и h:Y→X, из fog = foh следует g = h. В самом деле, пусть f:X→Y взаимно-однозначна и пусть g:Y→ X, h:Y→ X и fog = foh. Тогда /(g(у)) = f (h(у)) для всех у из Y. Отсюда и из взаимно-однозначности функции f вытекает, что g(y) — h(y) для всех у из Y. Таким образом, g=h. Доказательство обратного утверждения предоставляется читателю.
Простое видоизменение утверждения (I) дает и характеристику свойства «принимать значения на».
(II) Пусть f:X→Y. Тогда f принимает значения на Y тогда и только тогда, когда для любых функций g и h таких, что g:Y→X и h:Y→X, из gof — hof следует g= h. Доказательство предоставляется читателю.
С помощью (I) и (II) разложение, полученное в примере 2, можно описать более ясно следующим образом. Для каждой функции f существует взаимно-однозначная функция i, принимающая значения на функция f и взаимно-однозначная, принимающая значения на функция g такие, что f = iogoj.
Если поменять местами координаты каждого элемента функции f (рассматриваемой как множество упорядоченных пар), то в результате получится некоторое отношение g, которое может и не быть функцией. В самом деле, g будет функцией в том и только в том случае, если из того, что <y, х> и <y, z> принадлежат g, следует, что x = z. В терминах, относящихся к функции f, это означает, что из того, что <x, y> и <z, y> принадлежат f, следует, что x = z, т. е. что f взаимно-однозначна. Если f взаимно-однозначна, то функция, получающаяся из f переменой мест координат элементов функции f, называется функцией, обратной к f , и обозначается через f -1. Эта операция, определяемая только для взаимно-однозначных функций, называется (функциональным) обращением. Если f -1 существует, то область ее определения есть область значений функции f, ее область значений есть область определения функции f, и x = f -l(y) равносильно y = f(x). Далее, f -1непременно взаимно-однозначна, причем обратная к ней функция (f -1) -1 совпадает с f. Если f — взаимно-однозначная функция, определенная на X со значениями на Y, то f -1 —взаимно-однозначная функция, определенная на Y со значениями на X. Наконец,
f -1 o f = ix и fo f -1 =iy.
Имеется еще одна важная связь между операциями композиции и обращения функций. Если fug взаимно-однозначны, то gof также взаимно-однозначна, причем
(gof)-1 = f-1 o g-1
Доказательство последнего утверждения мы предоставляем читателю.
Примеры В
1. Функция f:R→R, где f (x) = 2x+1, взаимно-однозначна. Обращение функции f может быть записано в виде {<2x+1, x>|xR}. Но такое описание, конечно, не удовлетворит того, кто предпочел бы располагать определением функции через ее область определения и значение для каждого элемента из области определения.
Чтобы удовлетворить такому пожеланию, мы заметим, что
{< 2x + 1, x > x R} = { < t, ½ (t-1) > t R}
Таким образом, f -1 есть функция, определенная на R со значениями в R и такая, что f -1 (х) = ½(х—1).
2. Функция g:R+→R+, где g(x)=x2, взаимно-однозначна, так как из х12 = х22 при условии, что хх и х2 положительны, следует х1 = х2. Тогда
g-1 : R+→ R+, где g-1(x) = x ½
3. О функции f:R→R+, где f(x)=10x, известно, что она взаимнооднозначна и принимает значения на. Функция, обратная к функции f, называется логарифмической функцией по основанию 10 и значение ее для аргумента х записывается в виде log10 х .
Уравнения
log1010x=x, где x R
и
10log10x = x, где х>0,
являются частными случаями уравнений (f -1 of)(x)=x, где xDf, и (fof -1)(x)=x, где xRf, справедливых для любой взаимно-однозначной функции.
Если для функции f:R→R существует обратная, то график функ ции f -1 можно получить из графика функции f зеркальным отражением относительно прямой у = х. Доказательство предоставляется читателю.
Согласно четвертому из примеров В в § 1.8, если для некоторой функции fопределена обратная функция, то
f -1[A B] = f -1 [A] f -1 [B]
и
f -1[A ∩B] = f -1 [A] ∩f -1 [B]
Последнее соотношение можно усилить: для обратных функций f--1[А∩ ∩B]= f--1 [A]∩ f--1 [B]. Доказательство предоставляется читателю. Множество вида f -l [А] мы будем называть прообразом множества А при f.
Упражнения
Пусть f:R→R, где f(х) = (1 +(1—х)1/3)1/5. Представить f в виде композиции четырех функций, ни одна из которых не есть тождественная функция.
Доказать, что если f:X→У и АХ, то fA = foiA.
Завершить доказательства утверждений, высказанных во втором из примеров А.
Завершить доказательство утверждения (I) и доказать утвержде- ние (II) в третьем из примеров А.
Доказать, что f:A→В есть взаимно-однозначное соответствие между А и В тогда и только тогда, когда существует такое отображе- ние g:B→ А, что gof = iA и fog=iB.
Доказать, что если f:A→В и g:B→C взаимно-однозначны и принимают значения на, то gof : A→С также взаимно-однозначна и принимает значения на, причем (gof)-1 = f-1og-1.
Пусть f:A→ А; обозначим, как обычно, через f n функцию fоfо ... оf (п вхождений буквы f). Доказать, что если fn = iA, то f взаимно-однозначна и принимает значения на.
Доказать теорему 1.5 в следующей формулировке: для любого множества X существует взаимно-однозначное соответствие между мно- жеством отношений эквивалентности на X и множеством разбиений мно- жества X.
Доказать, что если у функции f:R→R есть обратная, то график функции f -1 можно получить зеркальным отображением графика функ- ции f относительно прямой у =х.
10. Доказать, что каждая из следующих функций имеет обратную. Найти область определения каждой из этих обратных функций и ее зна- чения для каждого элемента области определения. Начертить графики каждой обратной функции.
f : R→R, где f (x) = 2x-1;
f:R→R, где f (x) = x3;
f = {<x, (1-x2)1/2> 0≤ x ≤1};
f ={ <x, x/(x-1)> - 2≤ x <1}.
11. Доказать тождество (gof) -1 = f -1o g-1для взаимно-однозначных функций f и g.
Доказать, что если функция f имеет обратную, то f -1 [A∩B] = f -1 [А]∩ f -1 [В]