3.4. Силы инерции

3.4.1. Неинерциальная система отсчета, движущаяся

прямолинейно

Силы инерции возникают в неинерциальных системах отсчета, т.е. системах отсчета, движущихся с постоянным ускорением относительно инерциальных. Рассмотрим сначала случай, когда неинерциальная система отсчета S′ движется относительно неподвижной инерциальной системы S поступательно с ускорением a₀. Такой неинерциальной системой отсчета может служить, например, ускоренно движущийся вагон. Пусть на частицу массой m в инерциальной системе отсчета S действует сила F, сообщающая частице ускорение a. Классический закон сложения скоростей справедлив, не зависимо от того, является ли система отсчета S′ инерциальной или неинерциальной. Поэтому для скорости частицы в системе S′ будем иметь

_{v′ = v – V, (3.7)}

_где – скорость системы отсчета S′ относительно системы S. Теперь эта скорость не постоянна, а зависит от времени: V = V(t). Продифференцировав равенство (3.7) по времени, получим закон преобразования ускорений при переходе от инерциальной системы отсчета S к неинерциальной системе отсчета S′: где – ускорение системы отсчета S′. Умножив обе части этого равенства на массу частицы и учтя, что ma = F, придем к соотношению

(3.8)

Соотношение (3.8) выражает собой второй основной закон динамики материальной точки в неинерциальной системе отсчета S′. Из этого соотношения видно, что в неинерциальной системе отсчета, кроме силы F возникает дополнительная сила Эта сила и называется силой инерции. Как видим, она возникает вследствие ускоренного движения системы отсчета и направлена противоположно направлению ускорения этой системы. Если действующая на частицу сила F = 0, то в инерциальной системе частица будет не свободна; она будет испытывать действие силы инерции F_i, связанной с ускоренным движением этой системы. Силы инерции обусловлены свойствами самих неинерциальных систем отсчета и не связаны с взаимодействием материальных тел. Поэтому силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона.

Если учесть силы инерции, то сила действующая на частицу в неинерциальной системе, будет равна , а второй закон динамики в неинерциальной системе отсчета S′ запишется как Следовательно, при учете сил инерции основной закон динамики в любых системах отсчета (как инерциальных, так и неинерциальных) имеет одинаковый вид. Неинерциальные системы отсчета в этом случае будут неотличимы от инерциальных.

3.4.2. Вращающаяся неинерциальная система отсчета

Рассмотрим теперь вопрос о движении по отношению к вращающейся системе отсчета и выясним, каковы появляющиеся здесь силы инерции. Будем считать для простоты, что такой системой отсчета является равномерно вращающийся с угловой скоростью круглая платформа (диск), и рассмотрим простейшее движение на ней – равномерно движущееся вдоль края платформы тело. Обозначим скорость этого тела по отношению к системе отсчета, связанной с платформой (неинерциальная система отсчета S′) через Тогда по отношению к неподвижной инерциальной системе отсчета S скорость того же телча будет равна, очевидно, сумме и скорости точек края самой платформы ωR, где R – радиус платформы: = + ωR. Так как по отношению к инерциальной системе отсчета тело равномерно движется по окружности радиуса R, то оно обладает центростремительным ускорением

где учтено, что Учитывая теперь, что первый член в правой части этого равенства есть ускорение тела в неинерциальной системе отсчета, перепишем это равенство в виде

Умножив обе части этого равенства на массу m тела и учтя, что ma = F, где F – сила, действующая на тело в инерциальной системе отсчета, получим уравнение основного закона динамики в неинерциальной вращающейся системе отсчета: где

– сила, действующая на тело в неинерциальной вращающейся системе отсчета. Мы видим, что во вращающейся системе отсчета, кроме силы F, появляются две дополнительные силы. Эти силы обусловлены неинерциальностью вращающейся системы отсчета и являются, таким образом, силами инерции. Первая из этих сил направлена вдоль радиус-вектора r от оси вращения и называется центробежной силой инерции. Величина центробежной силы инерции F_i = mω²r, где r – расстояние тела от оси вращения. Как видим, величина центробежной силы инерции зависит от положения частицы относительно системы отсчета, но не зависит от ее скорости , и поэтому она возникает и в том случае, когда тело неподвижно относительно вращающейся системы отсчета. В отличие от обычной центробежной силы эта сила приложена не к связям, удерживающим тело на определенном расстоянии от оси вращения, а к самому телу.

Вторая сила инерции

,

как и первая, в нашем частном примере направлена по радиус-вектору от оси вращения. Эту силу называют силой Кориолиса. По величине эта сила равна

Она действует только на движущуюся (относительно данной системы отсчета) частицу и зависит от ее скорости . В то же время она не зависит от положения тела относительно системы отсчета. Можно показать, что в общем случае сила Кориолиса перпендикулярна оси вращения и вектору скорости тела и определяется векторным произведением

Заметим, что и силы инерции, возникающие во вращающейся системе отсчета пропорциональны массе тела.

На примере вращающейся системы отчета видно, что по отношению неинерциальной системе отсчета пространство неоднородно и не изотропно. Действительно, сила инерции, действующая на тело, зависит от ее расстояния r до оси вращения, а значит, от положения тела в системе отсчета. Поэтому если тело не взаимодействует ни с какими другими телами, тем не менее, его различные местоположения в пространстве (в нашем примере на платформе) в физическом отношении не эквивалентны. В неинерциальной системе отсчета время также неоднородно.