3. Работа упругой силы

Упругие силы, возникающие при растяжении или сжатии пружины, также являются центральными силами. Совместим с осью пружины координатную ось X и обозначим через x растяжение пружины, т.е. разность ∆l = l – l₀ длин пружины в деформированном и недеформированном состояниях. Выберем начало координат на правом конце нерастянутой пружины; тогда растяжение пружины ∆l будет равно координате x правого конца растянутой пружины Упругая сила зависит только от растяжения и при небольших растяжениях определяется законом Гука где k – жесткость пружины (определяет, какую силу надо приложить, чтобы растянуть (или сжать) пружину на единицу длины). При выбранном начале координат эта сила будет иметь вид

а работа этой силы по растяжению пружины от x₁ до x₂

(4.25)

Видим, что и работа упругих сил не зависит от пути перехода тела (пружины) из одного положения в другое, а определяется только начальным (1) и конечным (2) растяжением пружины (начальным и конечным состоянием).

Мы видим, что во всех рассмотренных случаях криволинейный интеграл преобразовывался в определенный интеграл, величина

Рис. 4.4

которого определяется разностью первообразной в нижнем и верхнем пределе, т.е. начальным и конечным положением частицы (в случае пружины – начальным и конечной и конечной деформацией). Тем самым мы показали, что все три рассмотренные силы являются консервативными.

Из того факта, что работа консервативных сил не зависит от формы пути следует, что работа консервативных сил при перемещении частицы по замкнутому пути равна нулю. Действительно, рассмотрим пути перехода частицы из положения 1 в положение 2 вдоль кривых а и b.(рис. 4.4). Обозначим соответствующие им работы и . Так как работа не зависит от формы пути, обе эти работы равны: = . Откуда

– = 0. (4.26)

Учтя, что при обратном переходе работа = – , равенство (4.26) можно переписать в виде Левая часть этого равенства представляет собой работу по перемещению частицы по замкнутому пути 1a2b1. Следовательно, работа консервативных сил по любому замкнутому контуру равна нулю. Математически это утверждение можно выразить в виде

(4.27)

по любому замкнутому контуру С. Интеграл в левой части этого равенства называют циркуляцией вектора силы F по контуру С . Кружок в символе интеграла означает, что интеграл берется по замкнутому контуру С .

В отношении рассмотренных выше сил убедиться в справедливости утверждения о равенстве нулю работы по замкнутому пути можно также, положив, что начальная 1 и конечная 2 точки совпадают.

Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными силами. К ним относятся, прежде всего, так называемые диссипативные силы, например, силы трения, силы сопротивления. Все эти силы зависят не только от конфигурации системы тел, но и от их относительных скоростей. Работа этих сил отрицательна, так как совершается самими телами для их преодоления. Название диссипативные силы связано с тем, что эти силы приводят к потере (рассеянию, диссипация – рассеяние) механической энергии, к превращению ее в тепло. Другими неконсервативными силами являются так называемые гироскопические силы. Эти силы зависят от скорости материальной точки и действуют всегда перпендикулярно скорости. Работа гироскопических сил равна нулю при любом перемещении материальной точки, в частности при перемещении по замкнутому пути. Примером такой силы является сила Лоренца, определяющая действие магнитного поля на движущийся точечный заряд.